Question

【題目】已知橢圓C： 的焦距為2，點(diǎn)Q（ ，0）在直線l：x=3上．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線與橢圓相切點(diǎn)于點(diǎn)A，求△POA面積S的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：橢圓C： 的焦距為2，則2c=2，c=1，又點(diǎn)Q（ ，0）在直線l：x=3上，

∴a2=3，∴b2=a2﹣c2=2．

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

（2）

解：由題意直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，設(shè)P（3，y0），A（x1，y1）．

由 ，整理得（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0，由△=24（2+3k2﹣m2）=0，則2+3k2=m2，

x1=﹣ ，則y1= ，y0=kx+m．

由2+3k2=m2，則m=± ．

當(dāng)m= ．時(shí)，△POA面積S△OPA= 丨k+ 丨，又 ，k+ ＞0，

∴S△OPA= （k+ ）．

令f（k）= （k+ ），k∈R，則f′（k）= （1+ ）= （ ），

由f′（k）=0，得k=﹣ ，f（k）在（﹣∞，﹣ ）上單調(diào)遞減，在（﹣ ，+∞）單調(diào)遞增，

∴f（k）min=f（﹣ ）= ．即當(dāng)l的斜率為﹣ 時(shí)，△OPA面積S的最小值為 ．

同理當(dāng)m=﹣ ．時(shí)，S△OPA= （﹣k+ ）．當(dāng)l的斜率為 時(shí)，△OPA面積S的最小值為 ．

綜上，△OPA面積S的最小值為

【解析】（1）由題意可知：c=1，由Q（ ，0）在直線l：x=3上．即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）將直線方程代入橢圓方程，△=0，即可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求得△POA面積S的最小值．