Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+42交x軸與點(diǎn)A，交直線y=x于點(diǎn)B，拋物線y=ax²-2x+c分別交線段AB、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)分別為16和4，點(diǎn)P在這條拋物線上．
（1）求點(diǎn)C、D的縱坐標(biāo)．
（2）求a、c的值．
（3）若Q為線段OB上一點(diǎn)，且P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為5，求線段PQ的長(zhǎng)．
（4）若Q為線段OB或線段AB上的一點(diǎn)，PQ⊥x軸，設(shè)P、Q兩點(diǎn)之間的距離為d（d＞0），點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，直接寫出d隨m的增大而減小時(shí)m的取值范圍．

Answer 1

（1）∵點(diǎn)C在直線AB：y=-2x+42上，且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為16，
∴y=-2×16+42=10，即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為10；
∵D點(diǎn)在直線OB：y=x上，且D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4；

（2）由（1）知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（16，10），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，4），
∵拋物線y=ax²-2x+c經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，
∴

256a-32+c=10 16a-8+c=4

，
解得：

a= 1 8 c=10

．
∴拋物線的解析式為y=

1

8

x²-2x+10；

（3）∵Q為線段OB上一點(diǎn)，縱坐標(biāo)為5，
∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為5，
∵點(diǎn)P在拋物線上，縱坐標(biāo)為5，
∴

1

8

x²-2x+10=5，
解得x₁=8+2

6

，x₂=8-2

6

．
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8+2

6

，5），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，5），線段PQ的長(zhǎng)為2

6

+3；
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8-2

6

，5），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（5，5），線段PQ的長(zhǎng)為2

6

-3．
所以線段PQ的長(zhǎng)為2

6

+3或2

6

-3；

（4）∵PQ⊥x軸，
∴P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，都為m，
∴P（m，

1

8

m²-2m+10），Q（m，m）（此時(shí)Q在線段OB上）或Q（m，-2m+42）（此時(shí)Q在線段AB上）．
由

y=x y=-2x+42

，
解得

x=14 y=14

．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（14，14）．
①當(dāng)點(diǎn)Q為線段OB上時(shí)，如圖所示，
在OD段，即當(dāng)0≤m＜4時(shí)，d=（

1

8

m²-2m+10）-m=

1

8

m²-3m+10=

1

8

（m-12）²-8，d隨m的增大而減��；
在BD段，即當(dāng)4≤m≤14時(shí)，d=m-（

1

8

m²-2m+10）=-

1

8

m²+3m-10=-

1

8

（m-12）²+8，
在對(duì)稱軸右側(cè)，d隨m的增大而減小，即當(dāng)12＜m≤14時(shí)，d隨m的增大而減小．
則當(dāng)0≤m＜4或12≤m≤14時(shí)，d隨m的增大而減小；
②當(dāng)點(diǎn)Q為線段AB上時(shí)，如圖所示，
在BC段，即當(dāng)14≤m＜16時(shí)，d=（-2m+42）-（

1

8

m²-2m+10）=-

1

8

m²+32，
在對(duì)稱軸右側(cè)，d隨m的增大而減小，即當(dāng)14≤m＜16時(shí)，d隨m的增大而減�。�
在CA段，即當(dāng)16≤m≤21時(shí)，d=（

1

8

m²-2m+10）-（-2m+42）=

1

8

m²-32，
在對(duì)稱軸左側(cè)，d隨m的增大而減小，m不滿足條件．
綜上所述，當(dāng)0≤m＜4或12≤m＜16時(shí)，d隨m的增大而減�。�