Question

已知，如圖所示，拋物線c₁：y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，并與y軸交于點(diǎn)B，OA=，AB=，拋物線c₂與拋物線c₁關(guān)于y軸對(duì)稱．

（1）求拋物線c₁的函數(shù)解析式，并直接寫出拋物線c₂的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)l是拋物線c₂的對(duì)稱軸，P是l上的一點(diǎn)，求當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在拋物線c₁上是否存在點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DC⊥AB于C，使得△DCB與△AOB相似？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專題】綜合題．

【分析】（1）在Rt△OAB中OA=，AB=，求得OB的長(zhǎng)，從而根據(jù)OA，OB得到點(diǎn)A，D坐標(biāo)，點(diǎn)A坐標(biāo)即為其頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到C₁，C₂C₁關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而得到C₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即其對(duì)稱軸，從而得到C₂解析式．

（2）作BB′∥x軸交C₂于點(diǎn)B′則點(diǎn)B′即為點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，連接AB′交l于點(diǎn)P即為所求點(diǎn)．先求得直線AB′，代入對(duì)稱軸l的x值，從而進(jìn)一步求得點(diǎn)P．

（3）設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)D（x，），求得BD，求得直線AB，求得點(diǎn)D到直線AB的距離，若△DCB與△AOB相似，則或，代入求得的等式是否是否符合，符合則點(diǎn)D存在．

【解答】解：（1）∵在Rt△OAB中OA=，AB=，

∴OB=，

∴點(diǎn)A（，0），點(diǎn)B（0，3）．

則由，

解得：a=1，b=，c=3，

∴C₁的解析式為：y=x²﹣2x+3=．

則點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（，0），

相當(dāng)于C₁向左平移了2個(gè)單位，

∴C₂的解析式為：；

 

（2）作BB′∥x軸交C₂于點(diǎn)B′則點(diǎn)B′即為點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，連接AB′交l于點(diǎn)P即為所求點(diǎn)．

此時(shí)AB′即為△APB所形成三角形的最小周長(zhǎng)．兩點(diǎn)之間線段最短．

∵點(diǎn)A（，0），點(diǎn)B（0，3），

∴E（，0），

∴B′（﹣2，3），

則設(shè)直線AB′為y=kx+b，代入A，B′得：．

解得：k=，b=1，

∴直線AB′解析式為：y=，

代入對(duì)稱軸x=﹣，則y=2，

∴點(diǎn)P（）；

 

（3）如圖：存在，

知道點(diǎn)A，B設(shè)直線AB為y=mx+n，

代入解得：y=﹣x+3，即y+，

設(shè)點(diǎn)D（x，），則BD=，

則點(diǎn)D到直線的距離CD．

知道OA=，OB=3，AB=2，

若△DCB與△AOB相似，則或，

代入，

則點(diǎn)D（1，4﹣2），

檢驗(yàn)點(diǎn)D符合，

代入，

則點(diǎn)D（3，12﹣6），

檢驗(yàn)符合，

∴點(diǎn)D（1，4﹣2）或（3，12﹣6）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及到知道拋物線上的點(diǎn)求其解析式，求拋物線的對(duì)稱軸，以及拋物線的平移．