Question

15．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是弦AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），PE⊥AB，點(diǎn)E為垂足，射線EP交$\widehat{AC}$于點(diǎn)F，交過(guò)點(diǎn)C的切線于點(diǎn)D．
（1）求證：DC=DP；
（2）當(dāng)∠CAB=30°，點(diǎn)F是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)時(shí)，判斷以點(diǎn)A、O、C、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由切線的性質(zhì)結(jié)合題目條件可證明∠DCP=∠DPC，則可證明DC=DP；
（2）連接BC、AF，由題目條件可證明AF=FC=BC，且△BOC為等邊三角形，可證明四邊形AOCF是菱形．

解答 （1）證明：
如圖1，連接OC，

∵CD是⊙O的切線，點(diǎn)C是切點(diǎn)，
∴OC⊥CD，即∠DCP+∠OCP=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCP=∠OAC，
∵PE⊥AB，
∴∠OAC+∠APE=90°，
∵∠APE=∠DPC，
∴∠OAC+∠DPC=90°，
∴∠DCP=∠DPC，
∴DC=DP；
（2）解：是菱形，
理由如下：
如圖2，連接BC、AF，

∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°，
∴△BOC是等邊三角形，
∴OC=BC，
∵點(diǎn)F是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，
∴AF=FC=BC，
∴AF=FC=CO=OA，
∴以點(diǎn)A、O、C、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查切線的性質(zhì)，掌握過(guò)切點(diǎn)的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵．