Question

在直角坐標系x o y中，已知點P是反比例函數(shù)圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點為A．

（1）如圖1，⊙P運動到與x軸相切時，設(shè)切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由．
（2）如圖2，⊙P運動到與x軸相交，設(shè)交點為B，C．當(dāng)四邊形ABCP是菱形時：
①求出點A，B，C的坐標．
②在過A，B，C三點的拋物線上是否存在點M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的．若存在，請直接寫出所有滿足條件的M點的坐標，若不存在，試說明理由．

Answer 1

（1）四邊形OKPA是正方形 （2）①A（0，），B（1，0）  C（3，0）．②滿足條件的M的坐標有四個，分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）

解析試題分析：解：（1）∵⊙P分別與兩坐標軸相切，
∴ PA⊥OA，PK⊥OK．
∴∠PAO=∠OKP=90°．
又∵∠AOK=90°，
∴  ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．
∴四邊形OKPA是矩形．
又∵OA=OK，
∴四邊形OKPA是正方形．
（2）①連接PB，設(shè)點P的橫坐標為x，則其縱坐標為．

過點P作PG⊥BC于G．
∵四邊形ABCP為菱形，
∴BC=PA=PB=PC．
∴△PBC為等邊三角形．
在R t △PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，
PG=．
Sin ∠ PBG=，即．
解之得：x=±2（負值舍去）．
∴ PG=，PA=BC=2．
易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3．
∴ A（0，），B（1，0）  C（3，0）．
設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=ax²+bx+c．
據(jù)題意得：
解之得：a=， b=， c=．
∴二次函數(shù)關(guān)系式為：． 
②解法一：設(shè)直線BP的解析式為：y="u" x+ v，據(jù)題意得：
解之得：u=， v=．
∴直線BP的解析式為：．
過點A作直線AM∥PB，則可得直線AM的解析式為：．
解方程組：
得： ； ．
過點C作直線CM∥PB，則可設(shè)直線CM的解析式為：．
∴0=．   
∴．
∴直線CM的解析式為：．
解方程組：
得： ； ．
綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個，
分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）．
解法二：∵，
∴A（0，），C（3，0）顯然滿足條件．
延長AP交拋物線于點M，由拋物線與圓的軸對稱性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴．
∴點M的縱坐標為．
又點M的橫坐標為AM=PA+PM=2+2=4．
∴點M（4，）符合要求．
點（7，）的求法同解法一．
綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個，
分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）．
解法三：延長AP交拋物線于點M，由拋物線與圓的軸對稱性可知，PM=PA．
又∵AM∥BC，
∴．
∴點M的縱坐標為．
即．
解得：（舍），．
∴點M的坐標為（4，）．
點（7，）的求法同解法一．
綜上可知，滿足條件的M的坐標有四個，
分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，）．
考點：正方形的性質(zhì)、二次函數(shù)與幾何相結(jié)合
點評：該題較為復(fù)雜，主要考查學(xué)生對各種四邊形判定的理解和應(yīng)用，以及對二次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合所構(gòu)成的特殊點的聯(lián)系和求解。