Question

如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、B在雙曲線y=

k

x

(x＞0)上，BC與x軸交于點D．若點A的坐標為（1，2），則四邊形OABD的面積為

75

16

．

Answer 1

分析：首先求出直線AO解析式，進而得出AB直線解析，再利用AB直線解析式與反比例函數聯立求出B點坐標，進而利用S_{四邊形OABD}=S_△OAE-S_△BDE，求出即可．

解答：解：∵A在雙曲線上，∴k=xy=2，
故y=

2

x

，
設AO方程為y=kx，將A點坐標代入得出：
2=1×k，
解得：k=2，
故AO直線解析式為：y=2x，
∵AB⊥AO，
∴直線AB的解析式可以假設為y=-

1

2

x+b，
將A點坐標代入得：b=

5

2

，
故直線AB的解析式為：y=-

1

2

x+

5

2

，
將直線AB與反比例函數聯立得出：

y= 2 x y=- 1 2 x+ 5 2

，
解得：

x1=4 y1= 1 2

，

x2=1 y2=2

，
那么B點坐標為：（4，

1

2

），
∵BC∥AO，BC經過B點，
∴BC直線解析式一次項系數為：2，
故設解析式為：y=2x+c，
將B點代入得出：

1

2

=2×4+c
故 b=-

15

2

，
則直線BC解析式為：y=2x-

15

2

，
則BC與x軸交點D為：0=2x-

15

2

，
解得：x=

15

4

，
故D點坐標為：（

15

4

，0），
∵直線AB的解析式為：y=-

1

2

x+

5

2

，
∴AB與x軸交點坐標E為：（5，0），
則S_{四邊形OABD}
=S_△OAE-S_△BDE
=

1

2

×OE×|Ay|-

1

2

×DE×|By|
=

1

2

×5×2-

1

2

×（5-

15

4

）×

1

2

=5-

5

16

=

75

16

．
故答案為：

75

16

．

點評：此題主要考查了反比例函數的綜合應用以及待定系數法求一次函數和反比例函數解析式和三角形面積求法等知識，得出D，E點坐標是解題關鍵．