Question

如圖，在直角坐標系中，半圓直徑為OC，其圓心為D．過點A（2，0）作與半圓D相切于點E的切線AB，且∠OAB=45°．
（1）求切線AB所在直線的解析式．
（2）求半圓圓心D的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點A的坐標求出OA，再根據(jù)∠OAB=∠OAB，求出OB=OA=2，得出B點的坐標，再把A（2，0）和B（0，2）代入y=kx+b，即可求出切線AB所在直線的解析式，
（2）連接DE，則DE⊥AB，AO=AE=2，求出AB的長，根據(jù)BE=AB-AE，求出BE，再根據(jù)BE=DE求出DE，根據(jù)BD=

BE2+DE2

求出BD，最后根據(jù)OD=OB-BD求出OD即可得出半圓圓心D的坐標．

解答：解：（1）∵點A（2，0），
∴OA=2，
∵∠OAB=45°，
∴∠OBA=45°，
∴∠OAB=∠OAB，
∴OB=OA=2，
∴B點的坐標是（0，2），
設AB所在直線的解析式是y=kx+b，
把A（2，0）和B（0，2）代入上式得：

2k+b=0 b=2

，
解得：k=-1，
則切線AB所在直線的解析式是y=-x+2；
（2）連接DE，
則DE⊥AB，AO=AE=2，
∵AB=

OA2+OB2

=

22+22

=2

2

，
∴BE=AB-AE=2

2

-2，
∵∠OBA=45°，
∴∠BDE=∠OBA=45°，
∴BE=DE=2

2

-2，
∴BD=

BE2+DE2

=

(2 2 -2)2+(2 2 -2)2

=24-16

2

，
∴OD=OB-BD=2-（24-16

2

）=16

2

-22，
∴半圓圓心D的坐標是（0，16

2

-22）．

點評：此題考查了圓的綜合，用到的知識點是勾股定理、一次函數(shù)、切線的性質(zhì)等，關鍵是根據(jù)題意求出有關線段的長度．