Question

20、如圖，已知△ABC為等邊三角形，M為三角形外任意一點(diǎn)．
（1）請(qǐng)你借助旋轉(zhuǎn)知識(shí)說(shuō)明AM≤BM+CM；
（2）線段AM是否存在最大值？若存在，請(qǐng)指出存在的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）應(yīng)把AM和BM所在的三角形旋轉(zhuǎn)，與AM組成三角形，將△BMC繞B點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，得△BM′A，易得△BMM′為正三角形，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可證明．
（2）由（1）得線段AM存在最大值，M′在AM上時(shí)．

解答：解：（1）將△BMC繞B點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，得△BM′A，（1分）
∵∠MBM′=60°，BM=BM′，AM′=MC．
∴△BMM′為正三角形．
∴MM′=BM．（2分）
①若M′在AM上，
則AM=AM′+MM′=BM+MC，（3分）
②若M′不在AM上，連接AM′、MM′，
在△AMM′中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知：
AM＜AM′+MM′，
∴AM＜BM+MC．（5分）

（2）線段AM有最大值．（6分）
當(dāng)且僅當(dāng)M′在AM上時(shí)，AM=BM+MC；
存在的條件是：∠BMC=120°．（8分）

點(diǎn)評(píng)：求三邊關(guān)系，那么這三邊應(yīng)在一個(gè)三角形中，可通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到．