Question

8．如圖，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=110°．將一直角三角板的直角頂點放在點O處（∠OMN=30°），一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度數(shù)．
（2）將圖1中的三角板繞點O以每秒5°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為11或47（直接寫出結(jié)果）．
（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，請?zhí)骄俊螦OM與∠NOC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義以及直角的定義，即可求得∠BON的度數(shù)；
（2）分兩種情況：ON的反向延長線平分∠AOC或射線ON平分∠AOC，分別根據(jù)角平分線的定義以及角的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可；
（3）根據(jù)∠MON=90°，∠AOC=70°，分別求得∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=70°-∠AON，再根據(jù)∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（70°-∠AON）進(jìn)行計算，即可得出∠AOM與∠NOC的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）如圖2，∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB，
又∵∠BOC=110°，
∴∠MOB=55°，
∵∠MON=90°，
∴∠BON=∠MON-∠MOB=35°；

（2）分兩種情況：
①如圖2，∵∠BOC=110°
∴∠AOC=70°，
當(dāng)直線ON恰好平分銳角∠AOC時，∠AOD=∠COD=35°，
∴∠BON=35°，∠BOM=55°，
即逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為55°，
由題意得，5t=55°
解得t=11（s）；
②如圖3，當(dāng)NO平分∠AOC時，∠NOA=35°，
∴∠AOM=55°，
即逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為：180°+55°=235°，
由題意得，5t=235°，
解得t=47（s），
綜上所述，t=11s或47s時，直線ON恰好平分銳角∠AOC；
故答案為：11或47；

（3）∠AOM-∠NOC=20°．
理由：∵∠MON=90°，∠AOC=70°，
∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=70°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（70°-∠AON）=20°，
∴∠AOM與∠NOC的數(shù)量關(guān)系為：∠AOM-∠NOC=20°．

點評 本題主要考查的是角的計算、角平分線的定義的運用，用含∠AON的式子表示出∠AOM和∠NOC的長是解題的關(guān)鍵．解題時注意分類思想和方程思想的運用．