Question

如圖（1）和（2），MN是⊙O的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點P，∠APM=∠CPM．
（1）由以上條件，你認為AB和CD大小關系是什么，請說明理由；
（2）若交點P在⊙O的外部，上述結論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

（1）解：AB=CD，
理由是：過O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連接OB、OD，
∵∠APM=∠CPM，∠APM=∠BPN，∠CPM=∠DPN，
∴∠BPN=∠DPN，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF，
在Rt△BEO和Rt△DOF中，OF=OE，OD=OB，由勾股定理得：BE=DF，
∵OF⊥CD，OE⊥AB，
OF、OE過O，
∴由垂徑定理得：CD=2DF，AB=2BE，
∴AB=CD．

（2）AB=CD成立，
證明：過O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連接OB、OD，
∵∠APM=∠CPM，
∴OE=OF，
在Rt△BEO和Rt△DOF中，OF=OE，OD=OB，由勾股定理得：BE=DF，
∵OF⊥CD，OE⊥AB，
OF、OE過O，
∴由垂徑定理得：CD=2DF，AB=2BE，
∴AB=CD．
分析：（1）根據角平分線性質求出OE=OF，根據勾股定理求出BE=DF，根據垂徑定理求出AB=2BE，CD=2DF，即可得出答案；
（2）根據角平分線性質求出OE=OF，根據勾股定理求出BE=DF，根據垂徑定理求出AB=2BE，CD=2DF，即可得出答案．
點評：本題考查了勾股定理，角平分線性質，垂徑定理的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力．