Question

（2013•營口）按如圖方式作正方形和等腰直角三角形．若第一個正方形的邊長AB=1，第一個正方形與第一個等腰直角三角形的面積和為S₁，第二個正方形與第二個等腰直角三角形的面積和為S₂，…，則第n個正方形與第n個等腰直角三角形的面積和S_n=

5

2n+1

．

Answer 1

分析：觀察圖形，根據(jù)正方形的四條邊相等和等腰直角三角形的腰長為斜邊長的

2

2

倍，分別求得每個正方形的邊長，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解題即可．

解答：解：∵第一個正方形的邊長為1，
第2個正方形的邊長為（

2

2

）¹=

2

2

，
第3個正方形的邊長為（

2

2

）²=

1

2

，
…，
第n個正方形的邊長為（

2

2

）^n-1，
∴第n個正方形的面積為：[（

2

2

）²]^n-1=

1

2n-1

，
則第n個等腰直角三角形的面積為：

1

2n-1

×

1

4

=

1

2n+1

，
故第n個正方形與第n個等腰直角三角形的面積和S_n=

1

2n-1

+

1

2n+1

=

5

2n+1

．
故答案為：

5

2n+1

．

點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)和直角邊長是斜邊長的

2

2

倍及正方形的面積公式求解．找到第n個正方形的邊長為（

2

2

）^n-1是解題的關(guān)鍵．