Question

【題目】十九大報告中提出“廣泛開展全民健身活動，加快推進體育強國建設”．為了響應號召，提升學生訓練興趣，某中學自編“功夫扇”課間操．若設最外側(cè)兩根大扇骨形成的角為∠COD，當“功夫扇”完全展開時∠COD=160°．在扇子舞動過程中，扇釘O始終在水平線AB上．

小華是個愛思考的孩子，不但將以上實際問題抽象為數(shù)學問題，而且還在抽象出的圖中畫出了∠BOC 的平分線OE，以便繼續(xù)探究．

（1）當扇子完全展開且一側(cè)扇骨OD呈水平狀態(tài)時，如圖1所示．請在抽象出的圖2中畫出∠BOC 的平分線OE，此時∠DOE的度數(shù)為 ；

（2）“功夫扇”課間操有一個動作是把扇子由圖1旋轉(zhuǎn)到圖3所示位置，即將圖2中的∠COD繞點O旋轉(zhuǎn)至圖4所示位置，其他條件不變，小華嘗試用如下兩種方案探究了∠AOC和∠DOE度數(shù)之間的關系．

方案一：設∠BOE的度數(shù)為x．

可得出，則.

，則.

進而可得∠AOC和∠DOE度數(shù)之間的關系．

方案二：如圖5，過點O作∠AOC的平分線OF．

易得，即.

由，可得.

進而可得∠AOC和∠DOE度數(shù)之間的關系．

參考小華的思路可得∠AOC和∠DOE度數(shù)之間的關系為 ；

（3）繼續(xù)將扇子旋轉(zhuǎn)至圖6所示位置，即將∠COD繞點O旋轉(zhuǎn)至如圖7所示的位置，其他條件不變，請問（2）中結論是否依然成立？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）80°；（2）；（3）不成立

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意畫出角平分線，然后根據(jù)角平分線的定義進行求解即可；

（2）結合圖形完成題中所給兩個方案的過程即可得；

（3）不成立，按（2）中的兩個方案進行驗證即可得.

試題解析：（1）如圖1，

∵OE平分∠COD，∠COD=160°，

∴∠DOE=∠COD=80°，

故答案為：80°；

（2）方案一：設∠BOE的度數(shù)為x，

∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOE=2x，

∴，則，

，則，

∴= ，

∴；

方案二：如圖5，過點O作∠AOC的平分線OF，

∵OE平分∠BOE，OF平分∠AOC，∴∠COE=∠BOC，∠COF=∠AOC，

∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠COE+∠COF=90°，即，即 ，

∵，∴，

∴ ，

故答案為： ；

（3）不成立．

理由如下：

方法一：設∠BOE的度數(shù)為x．

可得出，則.

，則．

所以．

方法二：如圖2，過點O作∠AOC的平分線OF．

易得，即.

由，可得.

所以.