Question

14．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)E、F分別在AB、BC邊上，且AE=BF=$\frac{1}{3}$AB，連接AF、CE交于點(diǎn)G，將△ABC沿AC翻折得到△ACD，連接DG，且DG=6$\sqrt{7}$，過點(diǎn)D作∠CDG的角平分線交CB于M，則四邊形DGFM的面積是77$\sqrt{3}$-$\frac{49\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 先證△ACE≌△ABF得∠ACE=∠BAF，由∠CGF=∠CAG+∠ACE=∠CAG+∠BAF=∠BAC=∠ADC=60°知點(diǎn)A、D、C、G四點(diǎn)共圓，得∠AGD=∠ACD=60°，∠DGC=∠DAC=60°，作FK⊥AB于點(diǎn)K，設(shè)BK=t，則AE=BF=$\frac{BK}{cosB}$=2t，F(xiàn)K=$\sqrt{3}$t，AB=3BF=6t、AK=5t、AF=2$\sqrt{7}$t，證△AGE∽△ABF得AG=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$t，作AP⊥DG，得PG=AGcos∠AGD=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$t、AP=AGsin∠AGD=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$t、PD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{P}^{2}}$=$\frac{15\sqrt{7}}{7}$t，由DG=PD+PG可得t=$\frac{7}{3}$，即可知AD=14，AF=$\frac{14\sqrt{7}}{3}$，AP=$\sqrt{21}$，延長(zhǎng)DM、AF交于點(diǎn)N，證BC∥AD、FM=FN得AD=AN=14、FM=FN=AN-AF=14-$\frac{14\sqrt{7}}{3}$，作BQ⊥DA交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，則BQ=ABsin∠BAQ=7$\sqrt{3}$，最后根據(jù)S_{四邊形DGFM}=S_梯形ADMF-S_△ADG可得答案．

解答 解：如圖，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB，∠CAE=∠BAF=60°，
在△ACE和△ABF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAE=∠BAF}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABF，
∴∠ACE=∠BAF，
∴∠CGF=∠CAG+∠ACE=∠CAG+∠BAF=∠BAC=∠ADC=60°，
∴點(diǎn)A、D、C、G四點(diǎn)共圓，
∴∠AGD=∠ACD=60°，∠DGC=∠DAC=60°，
作FK⊥AB于點(diǎn)K，
設(shè)BK=t，則AE=BF=$\frac{BK}{cosB}$=$\frac{t}{cos6{0}^{°}}$=2t，F(xiàn)K=$\sqrt{B{F}^{2}-B{K}^{2}}$=$\sqrt{3}$t，
∴AB=3BF=6t，AK=AB-BK=5t，AF=$\sqrt{A{K}^{2}+F{K}^{2}}$=2$\sqrt{7}$t，
∵△ACE≌△ABF，
∴∠AEG=∠AFB，
∵∠GAE=∠BAF，
∴△AGE∽△ABF，
∴$\frac{AG}{AB}=\frac{AE}{AF}$，即$\frac{AG}{6t}=\frac{2t}{2\sqrt{7}t}$，
則AG=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$t，
作AP⊥DG于點(diǎn)P，
∴PG=AGcos∠AGD=$\frac{6\sqrt{7}}{7}t$•$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$t，AP=AGsin∠AGD=$\frac{6\sqrt{7}}{7}t$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$t，
則PD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{P}^{2}}$=$\frac{15\sqrt{7}}{7}$t，
由DG=PD+PG可得$\frac{15\sqrt{7}}{7}$t+$\frac{3\sqrt{7}}{7}$t=6$\sqrt{7}$，
解得t=$\frac{7}{3}$，
則AD=6t=14，AF=2$\sqrt{7}$t=$\frac{14\sqrt{7}}{3}$，AP=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$t=$\sqrt{21}$，
延長(zhǎng)DM、AF交于點(diǎn)N，
∵∠GDN=∠CDM、∠DCM=∠DGN=120°，
∴∠FMN=∠DMC=∠N，
∴FM=FN，
又∵∠ACB=∠CAD=60°，
∴BC∥AD，
∴∠FMN=∠ADN=∠N，
∴AD=AN=14，
∴FM=FN=AN-AF=14-$\frac{14\sqrt{7}}{3}$，
作BQ⊥DA交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，
則BQ=ABsin∠BAQ=14×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=7$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形DGFM}=S_梯形ADMF-S_△ADG
=$\frac{1}{2}$×（14-$\frac{14\sqrt{7}}{3}$+14）×7$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{7}$×$\sqrt{21}$
=77$\sqrt{3}$-$\frac{49\sqrt{21}}{3}$，
故答案為：77$\sqrt{3}$-$\frac{49\sqrt{21}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查翻折變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、四點(diǎn)共圓的條件等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，熟練掌握、靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．