Question

如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，連接AC，將△ACE沿AC翻折得到△ACF，直線FC與直線AB相交于點G．
（1）直線FC與⊙O有何位置關(guān)系？并說明理由；
（2）若OB=BG=2，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）相切．連接OC，證OC⊥FG即可．根據(jù)題意AF⊥FG，證∠FAC=∠ACO可得OC∥AF，從而OC⊥FG，得證；
（2）根據(jù)垂徑定理可求CE后求解．在Rt△OCG中，根據(jù)三角函數(shù)可得∠COG=60°．結(jié)合OC=2求CE，從而得解．

解答：解：（1）直線FC與⊙O相切．                            
理由如下：連接OC．
∵OA=OC，∴∠1=∠2．                                  
由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°．
∴∠2=∠3，∴OC∥AF．
∴∠OCG=∠F=90°．
∴直線FC與⊙O相切．  
                        
（2）在Rt△OCG中，cos∠COG=

OC

OG

=

OC

2OB

=

1

2

，
∴∠COG=60°．                                        
在Rt△OCE中，CE=OC•sin60°=2×

3

2

=

3

．       
∵直徑AB垂直于弦CD，
∴CD=2CE=2

3

．

點評：此題考查了切線的判定、垂徑定理、解直角三角形等知識點，難度中等．