Question

10．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+3與x軸分別交于點A（2，0）、點B（點B在點A的右側），與軸交于點C，tan∠CBA=$\frac{1}{2}$．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）設該拋物線的頂點為D，求四邊形ACBD的面積；
（3）設拋物線上的點E在第一象限，△BCE是以BC為一條直角邊的直角三角形，請直接寫出點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）由拋物線解析式和已知條件得出C和B的坐標，（0，3），OC=3，
把A（2，0）、B（6，0）分別代入y=ax²+bx+3得出方程組，解方程即可；
（2）把拋物線解析式化成頂點式得出頂點坐標，四邊形ACBD的面積=△ABC的面積+△ABD的面積，即可得出結果；
（3）設點E的坐標為（x，$\frac{1}{4}$x²-2x+3），分兩種情況：①當∠CBE=90°時；②當∠BCE=90°時；分別由三角函數(shù)得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵當x=0時，∴C（0，3），OC=3，
在Rt△COB中，∵tan∠CBA=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OB=2OC=6，
∴點B（6，0），
把A（2，0）、B（6，0）分別代入y=ax²+bx+3，得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+3=0}\\{36a+6b+3=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴該拋物線表達式為y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3；
（2）∵y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3=$\frac{1}{4}$（x-4）²-1
∴頂點D（4，-1），
∴四邊形ACBD的面積=△ABC的面積+△ABD的面積=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×4×1=8；
（3）設點E的坐標為（x，$\frac{1}{4}$x²-2x+3），分兩種情況：
①當∠CBE=90°時，
作EM⊥x軸于M，如圖所示：
則∠BEM=∠CBA，
∴$\frac{BM}{EM}$=tan∠BEM=tan∠CBA=$\frac{1}{2}$，
∴EM=2BM，
即2（x-6）=$\frac{1}{4}$x²-2x+3，
解得：x=10，或x=6（不合題意，舍去），
∴點E坐標為（10，8）；
②當∠BCE₁=90°時，作E₁N⊥y軸于N，
則∠E₁CN=∠CBA，
∴$\frac{{E}_{1}N}{CN}$=tan∠E₁CN=tan∠CBA=$\frac{1}{2}$，
∴CN=2E₁N，
即2x=$\frac{1}{4}$x²-2x+3-3，
解得：x=16，或x=0（不合題意，舍去），
∴點E₁坐標為（16，35）；
綜上所述：點E坐標為（10，8）或（16，35）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點、拋物線解析式的求法、三角函數(shù)的應用、解方程等知識；本題綜合性強，有一定難度，求出拋物線解析式是解決問題的關鍵．