Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形且AB=AC，BD是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)A做AP∥BC交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接AD．

（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑是2，cos∠ABC= ，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接AO，

∵AP∥BC，

∴∠3=∠ABC，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠C=∠D，

∵∠1=∠D，

∵BD是⊙O的直徑，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠2+∠3=90°，

∴AP是⊙O的切線；

（2）

解：

由（1）得：∠ABC=∠D，

∵⊙O的半徑是2，cos∠ABC= ，

∴BD=4，cos∠ABC=cosD= ，

∴ = ，

解得：AD=3，

∴AB= = = ．

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠3=∠1，進(jìn)而得出∠2+∠3=90°，即可得出答案；（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出cos∠ABC=cosD= ，進(jìn)而得出AD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用切線的判定定理和解直角三角形，掌握切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)即可以解答此題．