Question

（2012•許昌一模）如圖，已知拋物線，y=ax²+bx+c經(jīng)過A（2，0）．B（3．-3）及原點(diǎn)O．頂點(diǎn)為C．
（l）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，且以A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）P是拋物線上第三象限內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，清說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過拋物線過原點(diǎn)O，可設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx，再根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式；
（2）①當(dāng)OA為邊時，根據(jù)E在x=1上，能求出D的橫坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出D的坐標(biāo)即可；
②OA為對角線時，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，求出D和C重合，進(jìn)一步求出E的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（x，y），由題意知x＜0，y＜0且y=-x²+2x，可得P（x，-x²+2x），根據(jù)勾股定理的逆定理求出直角三角形BOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線過原點(diǎn)O，
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx，
將A（2，0），B（3，-3）代入，得

4a+2b=0 9a+3b=-3

，
解得

a=-1 b=2

，
故拋物線的解析式為：y=-x²+2x，
則y=-x²+2x=-（x²-2x）=-（x-1） ²+1，
故C點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，1）；

（2）如圖1，①當(dāng)AO為邊時，
∵以A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
∴DE∥AO，且DE=AO=2．
∵點(diǎn)E在對稱軸x=1上，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-1或3．
即符合條件的點(diǎn)D有兩個，分別記為D₁，D₂．
而當(dāng)x=-1時，y=-3當(dāng)x=3時，y=-3
則D₁（-1，-3），D₂（3，-3），
②當(dāng)AO為對角線時，則DE與AO互相平分．
又點(diǎn)E在對稱軸上，且線段AO的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，
由對稱性知，符合條件的點(diǎn)D只有一個，即頂點(diǎn)C（1，1），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)D共有三個，分別為（-1，-3），（3，-3），（1，1）；

（3）存在，
如圖2，∵B（3，-3），C（1，1）根據(jù)勾股定理得：
BO²=18，CO²=2，BC²=20．
∴BO²+CO²=BC²．
∴△BOC是以∠BOC為直角的直角三角形．
假設(shè)存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與Rt△BOC相似．
設(shè)P（x，y），由題意知x＜0，y＜0且y=-x²+2x，
①若△AMP∽△BOC，
則

AM

BO

=

PM

CO

．

2-x

3 2

=

-(-x2+2x)

2

，
則3x²-5x-2=0，
解之得x1=-

1

3

，x₂=2（舍去）．
當(dāng)x=-

1

3

時，y=-

7

9

，即點(diǎn)P（-

1

3

，-

7

9

）
②若△PMA∽△BOC，
則

AM

CO

=

PM

BO

．

2-x

2

=

-(-x2+2x)

3 2

則x²+x-6=0
解之得x₁=-3，x₂=2（舍去）．
當(dāng)x=-3時，y=-15，即點(diǎn)P（-3，-15）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有兩個，分別是P₁（-

1

3

，-

7

9

），P₂（-3，-15）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、平行四邊形的判定等知識點(diǎn)的應(yīng)用，此題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，對學(xué)生提出較高的要求．注意：不要漏解，分類討論思想的巧妙運(yùn)用．