Question

如圖，△ABC中AB=AC，BC=6，點(diǎn)D位BC中點(diǎn)，連接AD，AD=4，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E．
（1）試判斷四邊形ADCE的形狀并說(shuō)明理由．
（2）將四邊形ADCE沿CB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤6）秒，平移后的四邊形A’D’C’E’與△ABC重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三線合一可得∠ADC=90°∠BAD=∠CAD，根據(jù)已知可得：∠DAE=∠CEA=90°，即可求得四邊形ADCE是矩形；
（2）平移過(guò)程中有兩種不同情況：當(dāng)0≤t＜3時(shí)，重疊部分為五邊形；當(dāng)3≤t≤6時(shí)，重疊部分為三角形．根據(jù)多邊形的面積的求解方法即可求得．

解答：解：（1）∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
又∵AE平分∠CAM，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=

1

2

×180°=90°，
∴∠AEC=∠DAE=∠ADC=90°，
∴四邊形ADCE為矩形．

（2）平移過(guò)程中有兩種不同情況：
①當(dāng)0≤t＜3時(shí)，重疊部分為五邊形，
設(shè)C′E′與AC交于點(diǎn)P，A′D′與AB交于點(diǎn)Q，
∴E′P=

4

3

AE′=

4

3

（3-t）A′Q=

4

3

A′A=

4

3

t，
∴S=S_{矩形A′D′CE′}-S_△AA′Q-S_△AE′P
=3×4-

1

2

AA′•A′Q-

1

2

AE′•E′P
=12-

1

2

t•

4

3

t-

1

2

（3-t）•

4

3

(3-t)=-

4

3

t2+4t+6；

②當(dāng)3≤t≤6時(shí)，重疊部分為三角形，
設(shè)AB與C′E′交于點(diǎn)R，
∵C′E′∥AD，
∴△BC′R∽△BDA，
∴

C′R

BC‘

=

AD

BD

=

4

3

∵BC′=6-t，
∴C′R=

4

3

（6-t），
∴S=S_△BC′R=

1

2

BC′•C′R
=

1

2

（6-t）•

4

3

（6-t）
=

2

3

（6-t）²，
∴S=

- 4 3 t2+4t+6(0≤t＜3) 2 3 (6-t)2(3≤t≤6)

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的判定方法與三角形的三線合一的性質(zhì)，還考查了多邊形的面積的求解方法，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．