Question

平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥3，n為自然數(shù)），其中任何三點(diǎn)不在同一直線上．證明：一定存在三點(diǎn)，以這三點(diǎn)作為頂點(diǎn)的三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不大于．

Answer 1

【答案】分析：題目中的n個(gè)點(diǎn)中不妨設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)為A₁、A₂，則可以分當(dāng)∠A₂A₁An≥180°-和當(dāng)∠A₂A₁A_n＜180°-兩種情況進(jìn)行討論．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理就可以證出．
解答：解：如圖，在這n個(gè)點(diǎn)中，必存在這樣的兩點(diǎn)，使其它各點(diǎn)均在這兩點(diǎn)所在直線同側(cè)，設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)為A₁、A₂，其它各點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛟O(shè)為A₃、A₄、A_n．

（1）當(dāng)∠A₂A₁A_n≥180°-時(shí)，連接A₂A_n．
在△A₁A₂A_n中，∠A₂A₁A_n+∠A₁A_nA₂=180-∠A₂A₁A_n≤
則∠A₂A₁A_n、∠A₁A_nA₂中必有一個(gè)角不大于；

（2）當(dāng)∠A₂A₁A_n＜180°-時(shí)，∠A₂A₁A₃+∠A₃A₁A₄+∠A₄A₁A₅+…+∠A_n-1A₁A_n＜180°-，
則在這n-2個(gè)角中，必有一個(gè)角不大于
設(shè)∠A_iA₁A_i-1≤，則△A_iA₁A_i-1即為所求三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題的難度較大，分情況討論是解題的關(guān)鍵．