Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AC=3，AB=4，D為斜邊BC的中點，E為AB上一個動點，將△ABC沿直線DE折疊，A，C的對應點分別為，，交BC于點F，若△BEF為直角三角形，則BE的長度為______.

Answer 1

【答案】或.

【解析】

根據(jù)∠B為銳角，分兩種情況進行討論：當∠BEF=90°時，△BEF為直角三角形；當∠BFE=90°時，△BEF為直角三角形，分別根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，軸對稱的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系進行計算，即可得到BE的長度．

解：分兩種情況：

①如圖，當∠BEF=90°時，△BEF為直角三角形，

過D作DM⊥AB于M，則∠EMD=90°，DM∥AC，

∵D為BC的中點，

∴M為AB的中點，

，

由折疊可得，，

∴△DEM是等腰直角三角形，

，

；

②如圖，當∠BFE=90°時，△BEF為直角三角形，

連接AD，A'D，

根據(jù)對稱性可得，∠EAD=∠EA'D，AD=A'D

∵Rt△ABC中，AC=3，AB=4，

∴BC=5，

∵Rt△ABC中，D為BC的中點，

，

∴∠B=∠EAD，

∴∠B=∠FA'D，

設(shè)BE=x，則，

，

又∵Rt△A'DF中，sin∠FA'D=sinB，即，

，

解得，

即，

綜上所述，BE的長度為或.