Question

已知：如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB=AC=13，BC=24，PA是⊙O的切線，A為切點，割線PBD過圓心，交⊙O于另一點D，連接CD．
（1）求證：PA∥BC；
（2）求⊙O的半徑及CD的長．

Answer 1

（1）證明：∵PA是⊙O的切線，
∴∠PAB=∠2．
又∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∴∠PAB=∠1．
∴PA∥BC．

（2）連接OA交BC于點G，則OA⊥PA；
由（1）可知，PA∥BC，
∴OA⊥BC．
∴G為BC的中點，
∵BC=24，
∴BG=12．
又∵AB=13，
∴AG=5．
設(shè)⊙O的半徑為R，則OG=OA-AG=R-5，
在Rt△BOG中，
∵OB²=BG²+OG²，
∴R²=12²+（R-5）²，
∴R=16.9，OG=11.9；
∵BD是⊙O的直徑，
∴DC⊥BC．
又∵OG⊥BC，
∴OG∥DC．
∵點O是BD的中點，
∴DC=2OG=23.8．