Question

如圖，在菱形ABCD中，AC=8cm，BD=6，E為CD邊中點(diǎn)，點(diǎn)E到BD的距離等于

1

2

OC，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AC方向以每秒2cm的速度運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿DB方向以每秒1cm的速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為x秒，當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上運(yùn)動時(shí)，
①請用含x的代數(shù)式表示OP的長度；
②若記四邊形PBEQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
③是否存在時(shí)刻x，四邊形PBEQ的面積為13？若存在，求出滿足條件的x的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：①根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AO，BO的長，再利用P點(diǎn)運(yùn)動速度得出OP的長即可；
②根據(jù)首先求出BQ的長，再利用y=S_△BPQ+S_△BEQ，得出答案即可；
③根據(jù)②中所求，結(jié)合一元二次方程的解法得出即可．

解答：解：①∵在菱形ABCD中，AC=8cm，BD=6，
∴AO=CO=4cm，BO=DO=3cm，AC⊥BD，
∴AD=

32+42

=5（cm），
∵點(diǎn)P在線段AO上運(yùn)動，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AC方向以每秒2cm的速度運(yùn)動，
∴AP=2x，
∴OP=4-2x；

②∵四邊形PBEQ的面積為y，
過點(diǎn)E作EH⊥BD，∵E為CD邊中點(diǎn)，∴EH為△COD的中位線，
∴EH=

1

2

CO=2cm，
∵DQ=x，∴BQ=6-x，
∴y=S_△BPQ+S_△BEQ=

1

2

×（6-x）（4-2x）+

1

2

×（6-x）×2
=x²-9x+18；

③當(dāng)四邊形PBEQ的面積為13時(shí)，
則13=x²-9x+18，
整理得出：x²-9x+5=0，
解得：x₁=

9+ 61

2

（此時(shí)P點(diǎn)在OC上，不合題意舍去），x₂=

9- 61

2

，
故x=

9- 61

9

時(shí)，四邊形PBEQ的面積為13．

點(diǎn)評：此題主要考查了四邊形的綜合應(yīng)用以及菱形的性質(zhì)和一元二次方程的解法等知識，根據(jù)已知得出OP，BQ的長是解題關(guān)鍵．