Question

如圖，Rt△ABC中，M為斜邊AB上一點(diǎn)，且MB＝MC＝AC＝8cm，平行于BC的直線(xiàn)l從BC的位置出發(fā)以每秒1cm的速度向上平移，運(yùn)動(dòng)到經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)停止. 直線(xiàn)l分別交線(xiàn)段MB、MC、AC于點(diǎn)D、E、P，以DE為邊向下作等邊△DEF，設(shè)△DEF與△MBC重疊部分的面積為S（cm²），直線(xiàn)l的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．

（1）求邊BC的長(zhǎng)度；

（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的時(shí)刻t，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（4）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的時(shí)刻t，使得以點(diǎn)D為圓心、BD為半徑的圓與直線(xiàn)EF相切？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

1）證得M為斜邊中點(diǎn)，∠B＝30º，BC＝8………………………(1分)

（2）由題意，若點(diǎn)F恰好落在BC上，MF＝4(4－t)＝4，得t＝3.

當(dāng)0＜t≤3時(shí)，S＝－t²＋8t…………………………………………………(3分)

當(dāng)3＜t≤4時(shí)，S＝3t²－24t＋48…………………………………………(5分)

（3）當(dāng)0＜t≤3時(shí)，∠FCP≥90º，且顯然FC＞CP，故△PCF不可能為等腰三角形…(6分)

     當(dāng)3＜t≤4時(shí)，若△PCF為等腰三角形，也只能FC＝FP，＝3(4－t)，得t＝……(8分)

（4）若相切，則2t＝3(4－t)，解得t＝