Question

27、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；
（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2、圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個(gè)等量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）由已知AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，利用互余關(guān)系可證∠DAC=∠ECB，可證△ACD≌△CBE，得AD=CE，CD=BE，故AD+BE=CE+CD=DE；
（2）此時(shí)，仍有△ACD≌△CBE，AD=CE，CD=BE，利用線段的和差關(guān)系得DE=AD-BE．

解答：證明：（1）∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE+CD=AD+BE；

（2）ED=|AD-BE|．
繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，ED=AD-BE；
繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，ED=BE-AD；
繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)垂直于AB時(shí)，DE=BE-AD=0，
綜合以上得：ED=|AD-BE|．

點(diǎn)評：本題考查了用旋轉(zhuǎn)法尋找證明三角形全等的條件，關(guān)鍵是利用全等三角形對應(yīng)線段相等，將有關(guān)線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化．