Question

（本題8分）如圖，四邊形中，，平分，交于.

（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若點是的中點，試判斷的形狀，并說明理由.

Answer 1

證明：
（1）∵AB∥CD，即AE∥CD，
又∵CE∥AD，∴四邊形AECD是平行四邊形. 2分
∵AC平分∠BAD，∴∠CAE＝∠CAD，
又∵AD∥CE，∴∠ACE＝∠CAD，
∴∠ACE＝∠CAE，
∴AE＝CE，
∴四邊形AECD是菱形；········· 4分
（2）證法一：∵E是AB中點，∴AE＝BE.
又∵AE＝CE，∴BE＝CE，∴∠B＝∠BCE，
∵∠B+∠BCA+∠BAC＝180°，
∴2∠BCE+2∠ACE＝180°，∴∠BCE+∠ACE＝90°.
即∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形.
證法二：連DE，則DE⊥AC，且平分AC，
設DE交AC于F，∵E是AB的中點，∴EF∥BC.
∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形.······· 8分

略