Question

（2013•淄博）關(guān)于x的一元二次方程（a-6）x²-8x+9=0有實(shí)根．
（1）求a的最大整數(shù)值；
（2）當(dāng)a取最大整數(shù)值時(shí)，①求出該方程的根；②求2x2-

32x-7

x2-8x+11

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式得到△=64-4×（a-6）×9≥0且a-6≠0，解得a≤

70

9

且a≠6，然后在次范圍內(nèi)找出最大的整數(shù)；
（2）①把a(bǔ)的值代入方程得到x²-8x+9=0，然后利用求根公式法求解；
②由于x²-8x+9=0則x²-8x=-9，然后把x²-8x=-9整體代入所求的代數(shù)式中得到原式=2x²-

32x-7

-9+11

=2x²-16x+

7

2

，再變形得到2（x²-8x）+

7

2

，再利用整體思想計(jì)算即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意△=64-4×（a-6）×9≥0且a-6≠0，
解得a≤

70

9

且a≠6，
所以a的最大整數(shù)值為7；

（2）①當(dāng)a=7時(shí)，原方程變形為x²-8x+9=0，
△=64-4×9=28，
∴x=

8± 28

2

，
∴x₁=4+

7

，x₂=4-

7

；
②∵x²-8x+9=0，
∴x²-8x=-9，
所以原式=2x²-

32x-7

-9+11

，
=2x²-16x+

7

2

，
=2（x²-8x）+

7

2

，
=2×（-9）+

7

2

，
=-

29

2

．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義和解法以及整體思想．