Question

5．如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O交AC于點F，交BC于點D，且BD=CD，DF⊥AC于點F．給出以下四個結論：
①DF是⊙O的切線；②CF=EF；③$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$；④∠A=2∠FDC．
其中正確結論的序號是①②④．

Answer 1

分析 由BD=DC，OA=OB，推出OD是△ABC的中位線，OD∥AC，由DF⊥AC得出得DF⊥OD，即DF是⊙O的切線，然后證出△ABC是等腰三角形，得出∠B=∠C，再推出△CDE為等腰三角形，從而推出∠A=2∠FDC，CF=EF．最后由假設推出$\widehat{AE}$≠$\widehat{DE}$；③不正確；即可得出結果．

解答 解：連接OD、DE、AD，如圖所示：
∵AB是⊙O的直徑，
∴OA=OB，
∵DB=DC，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切線，①正確；
∵DF是⊙O的切線，
∴∠CED=∠B，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵BD=CD，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠CED=∠C，
∴DC=DE，
又∵DF⊥AC，
∴CF=EF，②正確；
當∠EAD=∠EDA時，$\widehat{AE}=\widehat{DE}$，
此時△ABC為等邊三角形，
當△ABC不是等邊三角形時，
∠EAD≠∠EDA，
則$\widehat{AE}$≠$\widehat{DE}$，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$不正確；
∵DF⊥AC，AD⊥BC，
∴∠FDC+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠FDC=∠CAD，
又AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠A=2∠CAD=2∠FDC，④正確；
故答案為：①②④．

點評 此題考查的知識點是切線的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、圓周角定理、線段垂直平分線的性質、圓內接四邊形的性質等知識；本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的判定與性質及圓周角定理是解決問題的關鍵．