Question

如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在線段BC上，且PE=PB．
（1）求證：①PE=PD；②PE⊥PD；
（2）設(shè)AP=x，△PBE的面積為y．
①求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
②當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

分析：（1）可通過構(gòu)建全等三角形來求解．過點(diǎn)P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F，那么可通過證三角形GPD和EFP全等來求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出兩三角形的另一組對(duì)應(yīng)邊DG，PF相等，因此可得出兩直角三角形全等．可得出PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．
（2）求三角形PBE的面積，就要知道底邊BE和高PF的長，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，F(xiàn)E的長，那么就知道了底邊BE的長，而高PF=CD-GP，也就可求出PF的長，可根據(jù)三角形的面積公式得出x，y的函數(shù)關(guān)系式．然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出y的最大值以及對(duì)應(yīng)的x的取值．

解答：（1）證明：①過點(diǎn)P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F．如圖所示．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度．
又∵PB=PE，
∴BF=FE，
∴GP=FE，
∴△EFP≌△PGD（SAS）．
∴PE=PD．
②∴∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度．
∴∠DPE=90度．
∴PE⊥PD．

（2）解：①過P作PM⊥AB，可得△AMP為等腰直角三角形，
四邊形PMBF為矩形，可得PM=BF，
∵AP=x，∴PM=

2

2

x，

∴BF=PM=

2

2

x，PF=1-

2

2

x．
∴S_△PBE=

1

2

BE×PF=BF•PF=

2

2

x•（1-

2

2

x）=-

1

2

x²+

2

2

x．
即y=-

1

2

x²+

2

2

x．（0＜x＜

2

）．
②y=-

1

2

x²+

2

2

x=-

1

2

（x-

2

2

）²+

1

4

∵a=-

1

2

＜0，
∴當(dāng)x=

2

2

時(shí)，y_最大值=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，通過構(gòu)建全等三角形來得出相關(guān)的邊和角相等是解題的關(guān)鍵．