Question

如圖，已知⊙O的直徑AB=2，直線m與⊙O相切于點A，P為⊙O上一動點（與點A、點B不重合），PO的延長線與⊙O相交于點C，過點C的切線與直線m相交于點D．
（1）求證：△APC∽△COD；
（2）設(shè)AP=x，OD=y，試用含x的代數(shù)式表示y；
（3）試探索x為何值時，△ACD是一個等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）由題可知，DA、DC是由D點向圓引的兩條切線，有切線的性質(zhì)可知，DO垂直平分AC，又∠PAC為直徑所對的圓周角為90°，所以PA和AC垂直，因此PA和OD平行，可得同位角相等即∠P=∠DOC，又∠PAC=∠DCO=90°，所以可得相似．
（2）由（1）知相似，可得對應(yīng)線段成比例，利用此性質(zhì)得

AP

PC

=

OC

OD

，可求出y與x之間的關(guān)系式．
（3）若△ACD是一個等邊三角形，則∠ADC=60°，∠ODC=30°，于是OD=2OC，由（2）可得出x的值為1．

解答：（1）證明：∵PC是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，
∴∠PAC=∠OCD=90°，
∵DA，DC是⊙O的切線，
∴∠ADO=∠CDO，AD=DC，
∴DO⊥AC，
∴PA∥OD，
∴∠P=∠DOC，
∴△APC∽△COD．

（2）解：由△APC∽△COD，得：

AP

PC

=

OC

OD

∴

x

2

=

1

y

，
∴y=

2

x

．

（3）解：若△ACD是一個等邊三角形，則∠ADC=60°，∠ODC=30°，
∵OD=2OC，
∴y=2，
∴x=1．
當(dāng)x=1時，△ACD是一個等邊三角形．

點評：此題考查了相似三角形的判定以及切線長定理，難易程度適中．