Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線EF分別交DA，BC的延長(zhǎng)線于E，F．

（1）求證：AE＝CF；

（2）若AE＝BC，試探究線段OC與線段DF之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）OC∥DF，且OC＝DF，理由見(jiàn)解析．

【解析】

（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，得出∠ADB=∠CBD，證明△BOF≌△DOE，得出DE=BF，即可得出結(jié)論；
（2）證出CF=BC，得出OC是△BDF的中位線，由三角形中位線定理即可得出結(jié)論．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，

∴OB＝OD，

在△BOF和△DOE中，，

∴△BOF≌△DOE（ASA），

∴DE＝BF，

∴DE-AD＝BF﹣BC，

∴AE＝CF；

（2）解：OC∥DF，且OC＝DF，理由如下：

∵AE＝BC，AE＝CF，

∴CF＝BC，

∵OB＝OD，

∴OC是△BDF的中位線，

∴OC∥DF，且OC＝DF．