Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，點，點.

（1）在圖①中的軸上求作點，使得的值最小；

（2）若是以為腰的等腰直角三角形，請直接寫出點的坐標；

（3）如圖②，在中，，，點（不與點重合）是軸上一個動點，點是中點，連結，把繞著點順時針旋轉得到（即，），連結、、，試猜想的度數(shù)，并給出證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），，，；（3）45°，見解析

【解析】

（1）作出點B關于y軸對稱的點B1，連接AB1交y軸于點P，則P點即為所求；

（2）分別作出以AB為腰的等腰直角三角形，運用全等三角形的判定與性質求出點C的坐標即可；

（3）分點D運動到點A的右側和左側兩種情形進行求解：①當點運動到點右側時,如圖,延長至,使,連結,,，首先證明≌即可證明是等腰直角三角形，進而證明≌可得，，從而可得結論；②當點運動到點左側時，同理可得.

（1）如圖所示，

(2) 如圖1，過點B作BD⊥x軸于點D，過點C作CE⊥BD于點E,

∵∠ABC=90°,

∴∠ABD+∠CBE=90°，

∵∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠BAD=∠CBE，

在△BAD和△CBE中，

∴△BAD≌△CBE，

∴BE=AD，CE=BD，

∵A（-3，0），B（-2，3），

∴AD=1，BD=3，OD=2，

∴BE=1，DE=2，

∴C（1，2）

如圖2，

易證△BAD≌△ACO，

∴OC=AD=1，

∴C（0，-1）；

如圖3，

易證△BAD≌△BCF，

∴CF=AD=1，BF=ED=BD=3

∴CE=4，EO=5

∴C（-5，4）；

如圖4，

易證△BAD≌△CAE，

∴CE=AD=1，AE= BD=3

∴EO=6

∴C（-6，1）；

故點C的坐標為：,,,

(3)猜想

①當點運動到點右側時,

如圖,延長至,使,連結,,

在和中

∵,,

∴≌()

∴,

∵

∴

∵,

∴是等腰直角三角形

∴,,

∵

∴,

即

∴

在和中

∵,,

∴≌()

∴,

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∵

∴是等腰直角三角形,

②當點運動到點左側時,同理可證,

綜上所述,