Question

如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并延長DP交邊AB于點E，連接BP并延長BP交邊AD于點F，交CD的延長線于點G.
(1)求證：△APB≌△APD；
(2)已知DF∶FA＝1∶2，設(shè)線段DP的長為x，線段PF的長為y.
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)x＝6時，求線段FG的長.

Answer 1

(1)證明見解析；（1）；5.

解析試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；
（2）①首先證明△DFP≌△BEP，進(jìn)而得出，，進(jìn)而得出，即，即可得出答案；
②根據(jù)①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，進(jìn)而得出，求出即可．
試題解析：（1）證明：∵點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，
∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，
∵在△APB和△APD中
，
∴△APB≌△APD（SAS）；
（2）解：①∵△APB≌△APD，
∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，
∵在△DFP和△BEP中，
，
∴△DFP≌△BEP（ASA），
∴PF=PE，DF=BE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴GD∥AB，
∴，
∵DF：FA=1：2，
∴，，
∴，
∴，即，
∴；
②當(dāng)x=6時，，
∴PF=PE=4，DP=PB=6，
∵，
∴，
解得：FG=5，
故線段FG的長為5．
考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；3.菱形的性質(zhì)．