Question

如圖所示，拋物線y=x²-4x+3與x軸分別交于A、B兩點，交y軸于點C．
（1）求線段AC的長；
（2）求tan∠CBA的值；
（3）連接AC，試問在x軸左側否存在點Q，使得以C、O、Q為頂點的三角形和△OAC相似？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）令y=x²-4x+3=0，
解得x=1或3，
∴A點的坐標為（1，0），B點的坐標為（3，0），
令x=0得y=3，
∴C點的坐標為（0，3），
∴AC=

OC2+AO2

=

32+12

=

10

；

（2）∵A點的坐標為（1，0），C點的坐標為（0，3），
∴OA=3，OC=3，
∴tan∠CBA=

OC

OB

=

3

3

=1；

（3）設Q點的坐標為（x，0），
∵Q點在x軸左側否，
∴OQ=-x，
當△QOC∽△AOC時，
∴

QO

AO

=

OC

OC

=1，
即：

-x

3

=1，
∴x=-3，
∴此時Q點的坐標為（-3，0）；
當△CQO∽△ACO
∴

QO

OC

=

CO

AO

，
即：

-x

3

=

3

1

解得x=-9，
∴此時Q點的坐標為（-9，0）
∴在Y軸左側否存在點Q（-3，0）和（-9，0），使得以C、O、Q為頂點的三角形和△OAC相似．