Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（-2，3），原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A，它的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C（2，0）．
（1）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）連接CB，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)E，使得CB=CE，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接BE，設(shè)BE的中點(diǎn)為G，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBG的周長最��？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）由題意知：A（4，0）；
設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x-4），已知拋物線過B（-2，3）；則有：
3=ax（-2）×（-2-4），
a=

1

4

∴拋物線的解析式為：y=

1

4

x²-x；

（2）過點(diǎn)B作BM⊥MC，
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為：（-2，3），C點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0），
∴MC=4，BM=3，
BC=

BM2+MC2

=5，
∴|CE|=5，
∴E₁（2，5），E₂（2，-5）；

（3）存在．
①當(dāng)E₁（2，5）時(shí)，G₁（0，4），設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x=2的對稱點(diǎn)為D，
其坐標(biāo)為（6，3）
直線DG₁的解析式為：y=-

1

6

x+4，
∴P₁（2，

11

3

）
②當(dāng)E₂（2，-5）時(shí)，G₂（0，-1），直線DG₂的解析式為：y=

2

3

x-1
∴P₂（2，

1

3

）
綜合①、②存在這樣的點(diǎn)P，使得△PBG的周長最小，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，

11

3

）
或（2，

1

3

）．