Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標中，點A的坐標為（1，﹣2），點B的坐標為（3，﹣1），二次函數(shù)y=﹣x2的圖象為l1 ．

（1）平移拋物線l1 ， 使平移后的拋物線經(jīng)過點A，但不過點B．
①滿足此條件的函數(shù)解析式有個．
②寫出向下平移且經(jīng)點A的解析式 ．
（2）平移拋物線l1 ， 使平移后的拋物線經(jīng)過A，B兩點，所得的拋物線l2 ， 如圖②，求拋物線l2的函數(shù)解析式及頂點C的坐標，并求△ABC的面積．
（3）在y軸上是否存在點P，使S△ABC=S△ABP？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）無數(shù)；y=﹣x2﹣1
（2）

解：設l2的解析式是y=﹣x2+bx+c，

∵l2經(jīng)過點A（1，﹣2）和B（3，﹣1），

根據(jù)題意得： ，

解得： ，

則l2的解析式是：y=﹣x2+ x﹣ ，

則頂點C的坐標是（ ，﹣ ）．

過點A、B、C三點分別作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，則AD=2，CF= ，BE=1，DE=2，DF= ，F(xiàn)E= ．

得：S△ABC=S梯形ABED﹣S梯形BCFE﹣S梯形ACFD=

方法二：

設l2的解析式為：y=﹣x2+bx+c，

∵l2經(jīng)過點A（1，﹣2）和B（3，﹣1），

根據(jù)題意得： ，

∴b= ，c=﹣ ，

∴l(xiāng)2的解析式是：y=﹣x2+ x﹣ ，

則頂點C（ ，﹣ ），過O點作x軸的垂線交AB于H，

∵A（1，﹣2），B（3，﹣1），

∴l(xiāng)AB：y= x﹣ ，把x= 代入，y=﹣ ，

∴H（ ，﹣ ），

∴S△ABC= =

（3）

解：延長BA交y軸于點G，直線AB的解析式為y= x﹣ ，則點G的坐標為（0，﹣ ），設點P的坐標為（0，h）

①當點P位于點G的下方時，PG=﹣ ﹣h，連結(jié)AP、BP，則S△APG=S△BPG﹣S△ABP=（﹣ ﹣h）/2，

∴S△ABP=（﹣ ﹣h）

又∵S△ABC=S△ABP= ，得h=﹣ ，點P的坐標為（0，﹣ ）．

②當點P位于點G的上方時，PG= +h，同理得h=﹣ ，點P的坐標為（0，﹣ ）．

綜上所述所求點P的坐標為（0，﹣ ）或（0，﹣ ）

方法二：

直線AB與y軸的交點為D，

∵lAB：y= x﹣ ，∴D（0，﹣ ），

設P（0，t），

∴S△ABP= ，

∴ ，

∴t1=﹣ ，t2=﹣ ，

∴點P的坐標為（0，﹣ ）或（0，﹣ ）．

【解析】解：（1）①滿足此條件的函數(shù)解析式有無數(shù)個；
②設平移以后的二次函數(shù)解析式是：y=﹣x2+c，把A（1，﹣2）代入得：﹣1+c=﹣2，
解得：c=﹣1，
則函數(shù)的解析式是：y=﹣x2﹣1；