Question

【題目】綜合與實踐：

問題情境：

如圖 1，AB∥CD，∠PAB=25°，∠PCD=37°，求∠APC的度數(shù)，小明的思路是：過點(diǎn)P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)來求∠APC

問題解決：

（1）按小明的思路，易求得∠APC 的度數(shù)為 °；

問題遷移：

如圖 2，AB∥CD，點(diǎn) P 在射線 OM 上運(yùn)動，記∠PAB=α，∠PCD=β．

（2）當(dāng)點(diǎn) P 在 B，D 兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，問∠APC 與α，β 之間有何數(shù)量關(guān)系？ 請說明理由；

拓展延伸：

（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn) P 在 B，D 兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時 （點(diǎn) P 與點(diǎn) O，B，D 三點(diǎn)不重合）請你直接寫出當(dāng)點(diǎn) P 在線段 OB 上時，∠APC 與 α，β 之間的數(shù)量關(guān)系 ，點(diǎn) P 在射線 DM 上時，∠APC 與 α，β 之間的數(shù)量關(guān)系 ．

Answer 1

【答案】（1）62；（2），理由詳見解析；（3）；．

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠APE=∠PAB=25°，∠CPE=∠PCD=37°，即可得到∠APC；

（2）過P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠APE=α，∠CPE=β，即可得出答案；

（3）分兩種情況：P在BD延長線上；P在DB延長線上，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

解：如圖1，過P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE=∠PAB=25°，∠CPE=∠PCD=37°，

∴∠APC=25°+37°=62°；

故答案為：；

與之間的數(shù)量關(guān)系是：；

理由：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

∵，

；

如圖3，所示，當(dāng)P在射線上時，

過P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠1=∠PAB=α，

∵∠1=∠APC+∠PCD，

∴∠APC=∠1∠PCD，

∴∠APC=αβ，

∴當(dāng)P在射線上時，；

如圖4所示，當(dāng)P在線段OB上時，

同理可得：∠APC=βα，

∴當(dāng)P在線段OB上時，．

故答案為：；.