Question

如圖，直線y=-2x+4與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，P是直線AB上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，0），PC交y軸于點(diǎn)D，O是原點(diǎn)．
（1）求△AOB的面積；
（2）直線AB上存在一點(diǎn)P，使以P、C、O為頂點(diǎn)的三角形面積與△AOB面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）線段AB上存在一點(diǎn)P，使△DOC≌△AOB，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用直線方程易求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到線段OA=2，OB=4．所以根據(jù)直角三角形的面積公式來求△AOB的面積；
（2）設(shè)P（x，-2x+4）．根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)易求得線段OC=4．所以由直角三角形的面積公式列出關(guān)于x的方程|-x+2|=1，通過解方程可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等求得線段OD=OA=2，則易求點(diǎn)D的坐標(biāo)．由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)易求得直線CD的方程，則點(diǎn)P是直線CD與直線AB的交點(diǎn)．

解答：解：（1）如圖，∵直線y=-2x+4與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4．
∴S_AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

×2×4=4，即△AOB的面積是4；

（2）∵點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動點(diǎn)，
∴設(shè)P（x，-2x+4）．
又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-4，0），
∴OC=4，
∴

1

2

OC×|-2x+4|=4，即|-x+2|=1，
解得，x=1或x=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，2）或（3，-2）；

（3）∵△DOC≌△AOB，
∴OD=OA=2，
∴D（0，2）．
故設(shè)直線CD的方程為y=kx+2（k≠0）．則0=-4k+2，
解得，k=

1

2

，
∴直線CD的方程為y=

1

2

x+2（k≠0）．
又∵點(diǎn)P是直線CD與直線AB的交點(diǎn)，
∴

y=-2x+4 y= 1 2 x+2

，
解得

x= 4 5 y= 12 5

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

4

5

，

12

5

）．

點(diǎn)評：本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應(yīng)用，題中運(yùn)用點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的知識求出相關(guān)線段的長度是解題的關(guān)鍵．