Question

6．引理：如圖1所示已知Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，則CD=AD=DB=$\frac{1}{2}$AB
應(yīng)用格式為：∵CD是斜邊AB上的中線，∴CD=AD=DB=$\frac{1}{2}$AB
如圖2所示已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，若E在直線AC上任意一點(diǎn)，DF⊥DE，交直線BC于F點(diǎn)．G為EF的中點(diǎn)，延長CG交AB直線于點(diǎn)H．
（1）若E在邊AC上．①試說明DE=DF；②試說明CG=GH；（本題需要用引理）
（2）若AE=3，CH=5．求邊AC的長．

Answer 1

分析 （1）①連接CD，推出CD=AD，∠CDF=∠ADE，∠A=∠DCB，證△ADE≌△CDF即可；
②連接DG，根據(jù)直角三角形斜邊上中線求出CG=EG=GF=DG，推出∠GCD=∠GDC，推出∠GDH=∠GHD，推出DG=GH即可；
（2）由于E是直線AC上任意一點(diǎn)，所以分兩種情況進(jìn)行討論：①E在線段AC上；②E在線段CA延長線上．求出EF=5，根據(jù)勾股定理求出EC；③E在AC延長線上時(shí)；即可得出答案．

解答 解：（1）①連接CD，
∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，AC=BC，
∴CD=AD=BD，
又∵AC=BC，
∴CD⊥AB，
∴∠EDA+∠EDC=90°，∠DCF=∠DAE=45°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF．
②連接DG，
∵∠ACB=90°，G為EF的中點(diǎn)，
∴CG=EG=FG，
∵∠EDF=90°，G為EF的中點(diǎn)，
∴DG=EG=FG，
∴CG=DG，
∴∠GCD=∠CDG
又∵CD⊥AB，
∴∠CDH=90°，
∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，
∴∠GHD=∠HDG，
∴GH=GD，
∴CG=GH．

（2）分兩種情況：
①如圖，當(dāng)E在線段AC上時(shí)，
∵CG=GH=EG=GF，
∴CH=EF=5，
∵△ADE≌△CDF，
∴AE=CF=3，
∴在Rt△ECF中，由勾股定理得：CE=$\sqrt{E{F}^{2}-C{F}^{2}}$=4，
∴AC=AE+EC=3+4=7；
②如圖，當(dāng)E在線段CA延長線上時(shí)，
AC=EC-AE=4-3=1．
③E在AC延長線上時(shí)，AC=AE-CE，AC=3-4=-1（舍去）．
綜合上述，AC=7或1．

點(diǎn)評 本題考查了直角三角形斜邊上的中線，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，有一定的難度．