Question

【題目】四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=AD，線段BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BE，連接AC、ED．

（1）求證：AC=DE；

（2）若DC=4，BC=6，∠DCB=30°，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）2

【解析】試題分析：(1)連接BD,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),即可得到△ABC≌DBE,,進而得出AC=DE;

(2)連接CE,根據(jù)CB=EB，∠CBE=60°，可得△BCE是等邊三角形，從而∠BCE=60°，又因∠DCB=30°，,可得∠DCE=90°,再根據(jù)DC=4，BC=6=CE，運用勾股定理即可得到DE的長,進而得出AC的長.

證明：（1）如圖，連接BD，

∵∠DAB=60°，AB=AD，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AB=DB，∠ABD=60°，

∵線段BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BE，

∴CB=EB，∠CBE=60°，

∴∠ABC=∠DBE，

在△ABC和△DBE中，

，

∴△ABC≌△DBE（SAS），

∴AC=DE；

（2）如圖，連接CE，

由CB=EB，∠CBE=60°，可得△BCE是等邊三角形，

∴∠BCE=60°，

又∵∠DCB=30°，

∴∠DCE=90°，

∵DC=4，BC=6=CE，

∴Rt△DCE中，DE==2，

∴AC=2．