Question

如圖，已知平行四邊形ABCD，過A作AM⊥BC于M，交BD于E，過C作CN⊥AD于F，連接AF、CE．

（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；

（2）當AECF為菱形，M點為BC的中點時，求∠CBD的度數(shù)．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）30°．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、垂直的定義、平行線的判定定理可以推知AE∥CF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF；最后根據(jù)全等三角形的對應邊相等知AE=CF，所以對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

（2）根據(jù)證明M是BC的中點，AM丄BC（已知），△ABC為等邊三角形，然后根據(jù)三線合一定理即可求解．

試題解析：（1）證明∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知），

∴BC∥AD（平行四邊形的對邊相互平行）；

又∵AM丄BC（已知），

∴AM⊥AD；

∵CN丄AD（已知），

∴AM∥CN，

∴AE∥CF；

∴∠ADE=∠CBD，

∵AD=BC（平行四邊形的對邊相等），

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（ASA），

∴AE=CF（全等三角形的對應邊相等），

∴四邊形AECF為平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

（2）如圖，連接AC交BF于點0， 當四邊形AECF為菱形時，

則AC與EF互相垂直平分，

∵BO=OD（平行四邊形的對角線相互平分），

∴AC與BD互相垂直平分，

∴?ABCD是菱形（對角線相互垂直平分的平行四邊形是菱形），

∴AB=BC（菱形的鄰邊相等）；

∵M是BC的中點，AM丄BC（已知），

∴AB=AC（等腰三角形的性質(zhì)），

∴△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC=60°，∠CBD=30°．

考點：1.平行四邊形的判定與性質(zhì)；2.菱形的性質(zhì)．