Question

已知a，b，c均為非零實數，滿足：

b+c-a

a

=

c+a-b

b

=

a+b-c

c

，則

(a+b)(b+c)(c+a)

abc

的值為

 

．

Answer 1

分析：（1）當a+b+c≠0時，利用等比性質得到：

(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)

a+b+c

=

a+b+c

a+b+c

=

b+c-a

a

=

c+a-b

b

=

a+b-c

c

=1，可推出

b+c

a

=2，

c+a

b

=

a+c

c

=2，所以

(a+b)(b+c)(c+a)

abc

的值為8；
（2）當a+b+c=0時，則b+c=-a，a+b=-c，c+a=-b，所以

(a+b)(b+c)(c+a)

abc

=

(-a)(-b)(-c)

abc

=-1．

解答：解：（1）當a+b+c≠0時：

b+c-a

a

=

c+a-b

b

=

a+b-c

c

，
利用等比性質得到：

(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)

a+b+c

=

a+b+c

a+b+c

=

b+c-a

a

=

c+a-b

b

=

a+b-c

c

=1；
而

b+c-a

a

=

b+c

a

-1=1，
∴

b+c

a

=2，同理

c+a

b

=

a+c

c

=2，
∴

(a+b)(b+c)(c+a)

abc

=8；
（2）當a+b+c=0時，則b+c=-a，a+b=-c，c+a=-b，則

(a+b)(b+c)(c+a)

abc

=

(-a)(-b)(-c)

abc

=-1．

點評：靈活運用等比性質時注意運用的條件，分母的和不能是0．