Question

已知：在△AOB與△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°．

（1）如圖1，點(diǎn)C、D分別在邊OA、OB上，連結(jié)AD、BC，點(diǎn)M為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，連結(jié)OM，則線(xiàn)段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；
（2）如圖2，將圖1中的△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）．連結(jié)AD、BC，點(diǎn)M為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，連結(jié)OM．請(qǐng)你判斷（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立．若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖3，將圖1中的△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到使△COD的一邊OD恰好與△AOB的邊OA在同一條直線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)C落在OB上，點(diǎn)M為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)．請(qǐng)你判斷（1）中線(xiàn)段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，寫(xiě)出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系為AD=2OM，位置關(guān)系是AD⊥OM；
（2）（1）中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，理由為：如圖2所示，延長(zhǎng)BO到F，使FO=BO，連接CF，由M、O分別為BC、BF的中點(diǎn)，得到OM為三角形BCF的中位線(xiàn)，利用中位線(xiàn)定理得到FC=2OM，利用SAS得到三角形AOD與三角形FOC全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到FC=AD，等量代換得到AD=2OM；由OM為三角形BCF的中位線(xiàn)，利用中位線(xiàn)定理得到OM與CF平行，利用兩直線(xiàn)平行同位角相等得到∠BOM=∠F，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠F=∠OAD，等量代換得到∠BOM=∠OAD，根據(jù)∠BOM與∠AOM互余，得到∠OAD與∠AOM互余，即可確定出OM與AD垂直，得證；
（3）（1）中線(xiàn)段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化，理由為：如圖3所示，延長(zhǎng)DC交AB于E，連結(jié)ME，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AD于N，由三角形COD與三角形AOB都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到四個(gè)角為45度，進(jìn)而得到三角形MCE與三角形AED為等腰直角三角形，根據(jù)EN為直角三角形ADE斜邊上的中線(xiàn)得到AD=2EN，再利用三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到四邊形OMEN為矩形，可得出EN=OM，等量代換得到AD=2OM．
解答：
解：（1）線(xiàn)段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是AD=2OM，位置關(guān)系是AD⊥OM；


（2）（1）的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，理由為：
證明：如圖2，延長(zhǎng)BO到F，使FO=BO，連結(jié)CF，
∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，O為BF中點(diǎn)，
∴MO為△BCF的中位線(xiàn)，
∴FC=2OM，
∵∠AOB=∠AOF=∠COD=90°，
∴∠AOB+∠BOD=∠AOF+∠AOC，即∠AOD=∠FOC，
在△AOD和△FOC中，
，
∴△AOD≌△FOC（SAS），
∴FC=AD，
∴AD=2OM，
∵M(jìn)O為△BCF的中位線(xiàn)，
∴MO∥CF，
∴∠MOB=∠F，
又∵△AOD≌△FOC，
∴∠DAO=∠F，
∵∠MOB+∠AOM=90°，
∴∠DAO+∠AOM=90°，即AD⊥OM；


（3）（1）中線(xiàn)段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化，理由為：
證明：如圖3，延長(zhǎng)DC交AB于E，連結(jié)ME，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AD于N，
∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠A=∠D=∠B=∠BCE=∠DCO=45°，
∴AE=DE，BE=CE，∠AED=90°，
∴DN=AN，
∴AD=2NE，
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴EM⊥BC，
∴四邊形ONEM是矩形．
∴NE=OM，
∴AD=2OM．
故答案為：AD=2OM；AD⊥OM．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了幾何變換綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)定理，是一道多知識(shí)點(diǎn)探究性試題．