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        1. 已知:在△AOB中,AB=4
          2
          ,OB=6,∠B=45°,以O(shè)為原點(diǎn),所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系   
          (1)寫出點(diǎn)A的坐標(biāo):
          (2,4)
          (2,4)
          ;
          (2)C為線段OB上的動(dòng)點(diǎn),D為線段AB上的動(dòng)點(diǎn),且始終有CD∥OA,若C由O向B運(yùn)動(dòng)的距離OC=x,△ACD的面積為y
          ①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
          ②是否存在這樣的點(diǎn)D,使△AOC的面積等于△ACD的面積的2倍?若存在,請求出點(diǎn)D的坐標(biāo),否則請說明理由.
          分析:(1)過點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G,解等腰直角三角形ABG,得到AG=BG=
          2
          2
          AB=4,則OG=2,進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo);
          (2)①過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H,由CD∥OA,得出△BCD∽△BOA,根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比得出DH=
          2
          3
          (6-x),再由S△ACD=S△ABC-S△BCD,將數(shù)據(jù)代入,即可得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
          ②根據(jù)△AOC的面積等于△ACD的面積的2倍,列出關(guān)于x的方程,解方程求出x的值,進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo).
          解答:解:(1)過點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G,則∠AGB=90°.
          在Rt△ABG中,∵∠AGB=90°,AB=4
          2
          ,∠B=45°,
          ∴AG=BG=4
          2
          ×
          2
          2
          =4,
          ∴OG=OB-BG=6-4=2,
          ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4).
          故答案為(2,4);

          (2)①過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H.
          ∵CD∥OA,
          ∴△BCD∽△BOA,
          DH
          AG
          =
          BC
          OB
          ,即
          DH
          4
          =
          6-x
          6

          ∴DH=
          2
          3
          (6-x).
          ∵S△ACD=S△ABC-S△BCD=
          1
          2
          BC•AG-
          1
          2
          BC•DH,
          ∴y=
          1
          2
          (6-x)×4-
          1
          2
          (6-x)•
          2
          3
          (6-x)=-
          1
          3
          x2+2x,
          即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-
          1
          3
          x2+2x;

          ②存在這樣的點(diǎn)D,能夠使△AOC的面積等于△ACD的面積的2倍.
          ∵S△AOC=
          1
          2
          OC•AG=
          1
          2
          x×4=2x,
          ∴2x=2(-
          1
          3
          x2+2x),
          整理,得
          1
          3
          x2-x=0,
          解得x1=3,x2=0(不合題意舍去),
          ∴x=3.
          當(dāng)x=3時(shí),BH=DH=
          2
          3
          (6-x)=
          2
          3
          ×(6-3)=2,
          ∴OH=OB-BH=6-2=4,
          ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,2).
          點(diǎn)評:本題考查了解直角三角形,相似三角形的判定與性質(zhì),三角形的面積,綜合性較強(qiáng),難度適中,得出DH的長度是解題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•門頭溝區(qū)二模)已知:在△AOB與△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°.

          (1)如圖1,點(diǎn)C、D分別在邊OA、OB上,連結(jié)AD、BC,點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn),連結(jié)OM,則線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是
          AD=2OM
          AD=2OM
          ,位置關(guān)系是
          AD⊥OM
          AD⊥OM
          ;
          (2)如圖2,將圖1中的△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°).連結(jié)AD、BC,點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn),連結(jié)OM.請你判斷(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立.若成立,請證明;若不成立,請說明理由;
          (3)如圖3,將圖1中的△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到使△COD的一邊OD恰好與△AOB的邊OA在同一條直線上時(shí),點(diǎn)C落在OB上,點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn).請你判斷(1)中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化,寫出你的猜想,并加以證明.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知:在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD.
          (1)如圖①,若∠AOB=∠COD=60°,求證:①AC=BD      ②∠APB=60°.
          (2)如圖②,若∠AOB=∠COD=α,則AC與BD間的等量關(guān)系式為
          AC=BD
          AC=BD
          ,∠APB的大小為
          α
          α
          (直接寫出結(jié)果,不證明)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013年北京市門頭溝區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試卷(帶解析) 題型:解答題

          已知:在△AOB與△COD中,OA=OB,OC=OD,
          (1)如圖1,點(diǎn)C、D分別在邊OA、OB上,連結(jié)AD、BC,點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn),連結(jié)OM,則線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是                         ,位置關(guān)系是                    ;

          (2)如圖2,將圖1中的△COD繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為 ().連結(jié)AD、BC,點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn),連結(jié)OM.請你判斷(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立.若成立,請證明;若不成立,請說明理由;

          (3)如圖3,將圖1中的 △COD繞點(diǎn) O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到使 △COD的一邊OD恰好與△AOB的邊OA在同一條直線上時(shí),點(diǎn)C落在OB上,點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn).

          請你判斷(1)中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化,寫出你的猜想,并加以證明.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013年北京市門頭溝區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

          已知:在△AOB與△COD中,OA=OB,OC=OD,

          (1)如圖1,點(diǎn)C、D分別在邊OA、OB上,連結(jié)AD、BC,點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn),連結(jié)OM,則線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是                         ,位置關(guān)系是                    

          (2)如圖2,將圖1中的△COD繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為 ().連結(jié)AD、BC,點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn),連結(jié)OM.請你判斷(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立.若成立,請證明;若不成立,請說明理由;

          (3)如圖3,將圖1中的 △COD繞點(diǎn) O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到使 △COD的一邊OD恰好與△AOB的邊OA在同一條直線上時(shí),點(diǎn)C落在OB上,點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn).

          請你判斷(1)中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化,寫出你的猜想,并加以證明.

           

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