Question

【題目】如圖1所示，在△ABC中，點(diǎn)O是AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線與AB，BC的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)M，N．

（1）【問題引入】
若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)， = ，求 的值；
溫馨提示：過點(diǎn)A作MN的平行線交BN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（2）若點(diǎn)O是AC上任意一點(diǎn)（不與A，C重合），求證： =1；
（3）【拓展應(yīng)用】
如圖2所示，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，射線AP，BP，CP分別交BC，AC，AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若 = ， = ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點(diǎn)A作AG∥MN交BN延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

∴∠G=∠BNM，

又∠B=∠B，

∴△ABG∽△MBN，

∴ = ，

∴ ﹣1= ﹣1，

∴ = ，即 = ，

同理，在△ACG和△OCN中， = ，

∴ = ，

∵O為AC中點(diǎn)，

∴AO=CO，

∴NG=CN，

∴ = = =

（2）

解：由（1）知， = 、 = ，

∴ = =1

（3）

解：在△ABD中，點(diǎn)P是AD上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線與AC、BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C，

由（2）得 =1，

在△ACD中，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線與AC、AD的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E、B，

由（2）得 =1，

∴ = ，

∴ = = = × =

【解析】（1）作AG∥MN交BN延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，證△ABG∽△MBN得 = ，即 = ，同理由△ACG∽△OCN得 = ，結(jié)合AO=CO得NG=CN，從而由 = = 可得答案；
（2）由 = 、 = 知 = =1；
（3）由（2）知，在△ABD中有 =1、在△ACD中有 =1，從而 = ，據(jù)此知 = = = ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行線分線段成比例和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．