Question

如果正整數n有以下性質：n的八分之一是平方數，n的九分之一是立方數，它的二十五分之一是五次方數，那么n就稱為“希望數”，則最小的希望數是

 

．

Answer 1

分析：先根據n的八分之一是平方數，n的九分之一是立方數，它的二十五分之一是五次方數可知，n能被質因數2、3、5整除，故可設n=2^a×3^b×5^c，求出a、b、c的值代入n的式子即可．

解答：解：設n=2^a×3^b×5^c
a能被3和5整除，被2除余1，最小為15；
b能被2和5整除，被3除余2，b最小為20；
c能被2和3整除，被5除余2，c最小為12；
所以n最小為2¹⁵×3²⁰×5¹²；

n

8

=（2⁶×3¹⁰×5⁶）²；

n

9

=（2⁵×3⁶×5⁴）³；

n

25

=（2³×3⁴×5²）⁵．

點評：本題考查的是數的整除性問題，解答此題的關鍵是根據題意設出n的表達式．