Question

如果正整數(shù)n有以下性質(zhì)：n的八分之一是平方數(shù)，n的九分之一是立方數(shù)，它的二十五分之一是五次方數(shù)，那么n就稱為“希望數(shù)”，則最小的希望數(shù)是______．

Answer 1

設(shè)最小的希望數(shù)是n，則n能被8，9，25整除，8，9，25兩兩互質(zhì)既然是最小的，就不應(yīng)該有其它的因數(shù)了，
n=8^a?9^b?25^c因?yàn)閚的八分之一是平方數(shù)，所以a是奇數(shù)，b和c是偶數(shù)因?yàn)閚的九分之一是立方數(shù)，
所以b除以3余數(shù)是1，a和c能被3整除因?yàn)閚的二十五分之一是五次方數(shù)，
所以c除以5余數(shù)是1，a和b能被5整除所以a最小是5，b最小是10，c最小是6，
所以最小的希望數(shù)是2¹⁵?3²⁰?5¹²=30233088000000．
故答案為：2¹⁵?3²⁰?5¹²．