Question

閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明。
已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE=∠CDE
求證：AB=CD
分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等。因此，要證明AB=CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形�，F(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法，請對原題進(jìn)行證明。

（1）延長DE到F使得EF=DE；
（2） 作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延長線于F ；
（3） 過C點作CF∥AB，交DE的延長線于F 

Answer 1

（1）證明：延長DE到F使得EF=DE，連接BF 
                   在△DEC和△FEB中 
                  
                   ∴△DEC≌△FEB 
                    ∴∠D=∠F DC=FB 
                   ∵∠BAE=∠D 
                  ∴∠BAE=∠F 
                  ∴BA=BF
                   ∴AB=CD
（2）證明：作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F，交DE的延長線于F 
                   ∵CG⊥DE BF⊥DE 
                   ∴∠CGE=∠BFE=90° 
                   在△CGE和△BFE中 
                 
                    ∴△CGE≌△BFE 
                  ∴BF=CG 
                 在△ABF和△DCG中
                
                 ∴△ABF≌△DCG
                ∴AB=CD 
（3）證明：過C點作CF∥AB交DE的延長線于F
                  ∵CF∥AB
                  ∴∠BAE=∠F ∠B=∠FCE 
                    在△ABE和△FCE中 
                    
                      ∴△ABE≌△FCE
                      ∴AB=FC
                      ∵∠BAE=∠D 而∠BAE=∠F
                       ∴∠D =∠F
                      ∴CF=CD
                     ∴AB=CD