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        1. 閱讀下面的題目及分析過程,再回答問題.
          設(shè)x,y為正實數(shù),且x+y=6,求
          x2+1
          +
          y2+4
          的最小值.分析:(1)如圖(1),作長為6的線段AB,過A、B兩點在同側(cè)各做AC⊥AB,BD⊥AB,使AC=1,BD=2.
          (2)設(shè)P是AB上的一個動點.設(shè)PA=x,PB=y,則x+y=6,連接PC、PD,則PC=
          x2+1
          ,PD=
          y2+4
          精英家教網(wǎng)
          (3)只要在AB上找到使PC+PD為最小的點P的位置,就可以計算出
          x2+1
          +
          y2+4
          的最小值.問題:①在圖(2)中作出符合上述要求的點.
          ②求AP的長?
          ③通過上述作圖,計算當x+y=6時,
          x2+1
          +
          y2+4
          的最小值為
           

          解決問題:
          為了豐富學(xué)生的課余生活,石家莊外國語學(xué)校決定舉辦一次機器人投籃大賽.規(guī)則是:操縱者站在距線段AB 2米的C處,如圖(3)使機器人從A點出發(fā),到C處取到籃球,然后行駛到B處,將籃球投入設(shè)在B處的籃筐內(nèi),用時少的即為勝利者,為了獲得勝利,請你畫出C的最佳位置;并求當AB=3米時機器人行駛的最短路程?精英家教網(wǎng)
          分析:①找出點C關(guān)于AB的對稱點C′,連接C′D于AB交于點P,即為PC+PD為最小時所求的點的位置;
          ②根據(jù)對稱,利用“SAS”證明△CAP≌△C′AP,得到∠APC′=∠APC,再根據(jù)對頂角相等和等量代換得到∠APC=∠CPB,又根據(jù)∠CAP=∠B=90°,由兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△APC∽△BPC,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出AP的長;
          ③根據(jù)題中的分析和作圖可知:當x+y=6時,
          x2+1
          +
          y2+4
          的最小值為線段C′D的長,所以延長DB,過C′作C′E⊥DE,得到△DC′E為直角三角形,由CC′和C′E,根據(jù)勾股定理即可求出C′D的長;
          解決問題:
          作出點A關(guān)于l的對稱點A′,連接A′B交l于點C,故點C為所求的最佳位置,由作圖可知AA′的長,又AB的長,根據(jù)勾股定理即可求出A′B的長,求出AC+CB的最短距離,即為機器人走的最短距離.
          解答:精英家教網(wǎng)解:①延長線段CA,在延長線上截取AC′=AC,連接C′D于AB的交點即為點P,
          此時CP+PD最短,∴點P為所求作的點;

          ②∵AC=AC′,∠CAP=∠C′AP=90°,AP=AP,
          ∴△CAP≌△C′AP,
          ∵∠APC′=∠APC,又∠APC′=∠DPB,
          ∴∠APC=∠DPB,又∠CAP=∠B=90°,
          ∴△APC∽△BPD,
          AC
          BD
          =
          AP
          BP
          ,即
          AP
          6-AP
          =
          1
          2

          解得:AP=2;

          ③根據(jù)題意可知:
          x2+1
          +
          y2+4
          的最小值為線段C′D的長,精英家教網(wǎng)
          延長DB,過C′作C′E⊥BD,垂足為點E,
          則AC=AC′=BE=1,故DE=3,又C′E=x+y=6,
          在直角三角形DC′E中,根據(jù)勾股定理得:C′D=
          62+32
          =3
          5
          ,
          ∴當x+y=6時,
          x2+1
          +
          y2+4
          的最小值為3
          5
          ;
          解決問題:
          根據(jù)題意,畫圖形如下:
          過點A作直線l的垂線,以垂足為圓心,在直線l的上方找出點A關(guān)于l的對稱點A′,
          連接A′B與直線l交于點C,此時AC=AC′,故AC+CB最短,∴點C為所求作的點,
          由對稱可知AA′=4,又AB=3,
          在直角三角形A′AB中,根據(jù)勾股定理得:AC+CB=A′C+CB=A′B=
          42+32
          =5米,
          則機器人行駛的最短距離為5米.
          故答案為:3
          5
          點評:此題綜合考查了對稱知識,三角形相似的判斷與性質(zhì),直角三角形的性質(zhì)以及作圖的方法.作圖時得到的最短距離的原因是兩點之間線段最短.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

          31、閱讀下面的題目及分析過程,并按要求進行證明.
          已知:如圖,E是BC的中點,點A在DE上,且∠BAE=∠CDE.
          求證:AB=CD.
          分析:證明兩條線段相等,常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì),觀察本題中要證明的兩條線段,它們不在同一個三角形中,且它們分別所在的兩個三角形也不全等.因此,要證AB=CD,必須添加適當?shù)妮o助線,構(gòu)造全等三角形或等腰三角形.
          現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法,請任意選擇其中一種,對原題進行證明.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          22、閱讀下面的題目及分析過程,并按要求進行證明.
          已知:如圖,E是BC的中點,點A在DE上,且∠BAE=∠CDE,求證:AB=CD.
          (1)延長DE到F,使得EF=DE;
          (2)作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延長線于F;
          (3)過C點作CF∥AB,交DE的延長線于F.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

          閱讀下面的題目及分析過程,并按要求進行證明.
          已知:如圖,E是BC的中點,點A在DE上,且∠BAE=∠CDE,求證:AB=CD.
          分析:證明兩條線段相等,常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì),觀察本題中要證明的兩條線段,它們不在同一個三角形中,且它們分別所在的兩個三角形也不全等.因此,要證明AB=CD,必須添加適當?shù)妮o助線,構(gòu)造全等三角形或等腰三角形.
          現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法,請任意選擇其中兩種對原題進行證明.

          圖(1):延長DE到F使得EF=DE
          圖(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延長線于F
          圖(3):過C點作CF∥AB交DE的延長線于F.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年廣東佛山南海桂城街道九年級上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

          (閱讀下面的題目及分析過程,并按要求進行證明.

          已知:如圖,E是BC的中點,點A在DE上,且∠BAE=∠CDE.

          求證:AB=CD.

          分析:證明兩條線段相等,常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì),觀察本題中要證明的兩條線段,它們不在同一個三角形中,且它們分別所在的兩個三角形也不全等.因此,要證AB=CD,必須添加適當?shù)妮o助線,構(gòu)造全等三角形或等腰三角形.

          現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法,請任意選擇其中一種,對原題進行證明.

           

           

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          同步練習(xí)冊答案