Question

己知矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AE⊥BD于E，OE：ED=1：3，AE=，AB：AD=________．

Answer 1

或
分析：作出圖形，分①點E在BO上時，根據(jù)OE：ED求出點E為BO的中點，然后根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等求出△ABO是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠ABO=60°，然后利用60°角的余切值解答；②點E在OD上時，設(shè)OE為x，根據(jù)比例表示出ED的長，再根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等表示出BE的長，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出求出x²，再利用勾股定理求出AD、AB的長，即可得解．
解答：①如圖1，點E在BO上時，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD，
∵OE：ED=1：3，
∴BE=OB-OE=OD-OE=（ED-OE）-OE=3OE-OE-OE=OE，
∴BE=OE，
∴AE∥OB且平分OB，
∴AO=AB（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），
∴△ABO是等邊三角形，
∴∠ABO=60°，
∴AB：AD=tan∠ABO=cot60°=；
②如圖2，點E在OD上時，設(shè)OE為x，
∵OE：ED=1：3，
∴ED=3x，BE=OE+OB=x+（x+3x）=5x，
由直角三角形的性質(zhì)，△ADE∽BAE，
∴=，
即=，
解得x²=，
在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，AD===，
在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，AB===，
所以，AB：AD=：=．
綜上所述，AB：AD=或．
故答案為：或．
點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊成比例，注意要分情況討論求解．