Question

（2013•鄞州區(qū)模擬）如圖1，己知矩形ABCD中，BC=2，AB=4，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)沿BC的延長(zhǎng)線方向以每秒2個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F停止運(yùn)動(dòng)．連接EF交DC于K，連接DE，DF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求證：△DAE∽△DCF；
（2）當(dāng)DK=KF時(shí)，求t的值；
（3）如圖2，連接AC與EF相交于O，畫EH⊥AC于H．
①試探索點(diǎn)E、F在運(yùn)動(dòng)過程中，OH的長(zhǎng)是否發(fā)生改變，若不變，請(qǐng)求出OH的長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說明理由．
②當(dāng)點(diǎn)O是線段EK的三等分點(diǎn)時(shí)，直接寫出tan∠FOC的值．

Answer 1

分析：（1）求出

AE

CF

=

AD

CD

=

1

2

，∠DAE=∠DCF=90°，根據(jù)相似三角形的判定推出即可；
（2）根據(jù)相似得出∠ADE=∠CDF，求出EK=KF，證△FKC∽△FEB，得出

2t

2t+2

=

1

2

，求出即可；
（3）①點(diǎn)E、F在運(yùn)動(dòng)過程中，OH的長(zhǎng)不變，理由是：作EM∥BC，交AC于M，設(shè)∠BAC=α，則tanα=

1

2

，得出AE=t，CF=2t，求出EM=

1

2

t，證△MEO∽△CFO，得出

MO

OC

=

EM

CF

=

1

4

，求出MO=

1

5

CM，設(shè)HM=a，則EH=2a，AH=4a，求出MH=

1

5

AM，推出OH=

1

5

AC，求出AC即可求出OH；②tan∠FOC的值是

7

6

或

1

3

，理由是：根據(jù)△FKC∽△FEB求出KC=

t(4-t)

t+1

，根據(jù)△CKO∽△AEO得出

AE

CK

=

EO

OK

，當(dāng)

AE

CK

=

EO

OK

=

2

1

時(shí)得出

t

t(4-t) t+1

=2，求出t，即可得出AE長(zhǎng)，根據(jù)△AEH∽△ACB，求出EH，當(dāng)

AE

CK

=

EO

OK

=

1

2

時(shí)得出

t

t(4-t) t+1

=

1

2

，求出t，根據(jù)△AEH∽△ACB，求出EH的值，解直角三角形求出即可．

解答：解：（1）由題意，得AE=t，CF=2t．
∵矩形ABCD中，BC=AD=2，AB=CD=4，
∴

AE

CF

=

AD

CD

=

1

2

，
∵∠DAE=∠DCF=90°，
∴△DAE∽△DCF；

（2）∵△DAE∽△DCF，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDF+∠EDC=90°，即∠EDF=90°，
∵DK=KF，
∴∠KDF=∠KFD，
∵∠DEK+∠KFD=90°，∠EDK+∠KDF=90°，
∴∠DEK=∠EDK，
∴DK=EK，
∴EK=KF，
∵AB∥CD，
∴△FKC∽△FEB，
∴

2t

2t+2

=

1

2

，
t=1；

（3）①點(diǎn)E、F在運(yùn)動(dòng)過程中，OH的長(zhǎng)不變，
理由是：作EM∥BC，交AC于M，設(shè)∠BAC=α，則tanα=

1

2

，
∵AB⊥BC，
∴ME⊥AB，
∵AB⊥AC，
∴∠HEM=α，
∵AE=t，CF=2t，
∴EM=

1

2

t，
∵∠EOM=∠FOC，∠MEO=∠CFO，
∴△MEO∽△CFO，
∴

MO

OC

=

EM

CF

=

1

4

，
∴MO=

1

4

OC，
∴MO=

1

5

CM，
設(shè)HM=a，則EH=2a，AH=4a，
∴MH=

1

5

AM，
∴OH=OM+MH=

1

5

CM+

1

5

AM=

1

5

AC，
在Rt△ABC中，AB=4，BC=2，由勾股定理得：AC=2

5

，
∴OH=

2 5

5

，
即點(diǎn)E、F在運(yùn)動(dòng)過程中，OH的長(zhǎng)度不變，是

2 5

5

；
②tan∠FOC的值是

7

6

或

1

3

，
理由是：∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴△FKC∽△FEB，
∴

KC

BE

=

CF

BF

，
∴

KC

4-t

=

2t

2t+2

，
∴KC=

t(4-t)

t+1

，
∵AB∥CD，
∴△CKO∽△AEO，
∴

AE

CK

=

EO

OK

，
當(dāng)

AE

CK

=

EO

OK

=

2

1

時(shí)，

t

t(4-t) t+1

=2，
t=0（舍去），t=

7

3

，
∵EH⊥AC，
∴∠EHA=∠ABC=90°，
∵∠EAH=∠BAC，
∴△AEH∽△ACB，
∴

AE

AC

=

EH

BC

，
∴

7 3

2 5

=

EH

2

，
∴EH=

7 5

15

，
∴tan∠FOC=tan∠EOH=

EH

OH

=

7 5 15

2 5 5

=

7

6

；
當(dāng)

AE

CK

=

EO

OK

=

1

2

時(shí)，

t

t(4-t) t+1

=

1

2

，
t=0（舍去），t=

2

3

，
∵EH⊥AC，
∴∠EHA=∠ABC=90°，
∵∠EAH=∠BAC，
∴△AEH∽△ACB，
∴

AE

AC

=

EH

BC

，
∴

2 3

2 5

=

EH

2

，
∴EH=

2 5

15

，
∴tan∠FOC=tan∠EOH=

EH

OH

=

2 5 15

2 5 5

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，矩形性質(zhì)和判定，直接直角三角形的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，但是難度偏大．